3. Recalage modal d’un système dissipatif#
Dans le cas d’un système dissipatif, on exploite la relation de norme des déformées modales complexes.
Le recalage modal utilisé ici consiste à trouver les paramètres du modèle de telle sorte que les modes propres identifiés expérimentalement vérifient les relations de norme associées au modèle numérique.
La structure dissipative est modélisée comme suit:
\(M\ddot{y}+B\dot{y}+\mathit{Ky}=0\)
Où: \(M\) désigne la matrice de masse
\(B\) désigne la matrice d’amortissement
\(K\) désigne la matrice de rigidité
\(y\) désigne le déplacement
On fait l’hypothèse que les matrices du système sont symétriques.
Dans la majorité des cas, la matrice modale du système conservatif associé à ce système dissipatif ne diagonalise pas simultanément les trois matrices \(M\) , \(B\) et \(K\) . On se ramène alors à un système différentiel du premier ordre dans l’espace de dimension 2N.
On introduit le vecteur d’état: \(x=\left[\begin{array}{c}y\\ \dot{y}\end{array}\right]\)
On transforme les N équations du second ordre en 2N équations du premier ordre de la manière suivante:
\(\left[\begin{array}{cc}B& M\\ M& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{y}\\ \ddot{y}\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}-K& 0\\ 0& M\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}y\\ \dot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]\)
Que l’on peut écrire: \(U\dot{x}-\mathit{Ax}=0\)
Avec cette transformation, les solutions propres sont de la forme: \({x}_{\nu}=\left[\begin{array}{c}{y}_{\nu}\\ {s}_{\nu}{y}_{\nu}\end{array}\right]\)
Où \({s}_{\nu}\) correspond à la valeur propre associée à \({x}_{\nu}\) .
Les valeurs propres peuvent être réelles ou complexes. Si la structure est faiblement amortie, toutes les valeurs propres sont complexes conjuguées.
La matrice spectrale se met alors sous la forme suivante: \(\underset{(\mathrm{2N},2N)}{S}=\left[\begin{array}{cc}{S}_{2}& 0\\ 0& \stackrel{̄}{{S}_{2}}\end{array}\right]\)
Et la matrice modale associée: \(\underset{(\mathrm{2N},2N)}{X}=\left[\begin{array}{cc}Y& \stackrel{̄}{Y}\\ {\mathit{YS}}_{2}& \stackrel{̄}{{\mathit{YS}}_{2}}\end{array}\right]\)
Avec: \(\underset{(N,N)}{Y}=\left[{y}_{\nu}\right]\)
La matrice modale \(X\) vérifie les relations d’orthonormalité suivantes: \(\lbrace \begin{array}{c}{X}^{T}\mathit{UX}={N}_{0}\\ {X}^{T}\mathit{AX}={N}_{0}S\end{array}\)
Où \({N}_{0}\) est une matrice diagonale qui définit la norme de \(X\) : \({N}_{0}=\left[\begin{array}{cc}{N}_{2}& 0\\ 0& \stackrel{̄}{{N}_{2}}\end{array}\right]\)
Compte tenu des découpages en sous-matrices, le développement de la première ligne des relations d’orthonormalité s’écrivent comme suit:
\(\lbrace \begin{array}{c}{Y}^{T}\mathit{BY}+{S}_{2}{Y}^{T}\mathit{MY}+{Y}^{T}{\mathit{MYS}}_{2}={N}_{2}\\ {Y}^{T}B\stackrel{̄}{Y}+{S}_{2}{Y}^{T}M\stackrel{̄}{Y}+{Y}^{T}M\stackrel{̄}{{\mathit{YS}}_{2}}=0\end{array}\) (1)
et: \(\lbrace \begin{array}{c}{S}_{2}{Y}^{T}{\mathit{MYS}}_{2}-{Y}^{T}\mathit{KY}={N}_{2}{S}_{2}\\ {S}_{2}{Y}^{T}M\stackrel{̄}{{\mathit{YS}}_{2}}-{Y}^{T}K\stackrel{̄}{Y}=0\end{array}\) (2)
Les termes diagonaux de la première ligne des systèmes d’équations (1) et (2) conduisent aux relations suivantes:
\(\lbrace \begin{array}{c}{y}_{\nu}^{T}B{y}_{\nu}+2{s}_{\nu}{y}_{\nu}^{T}M{y}_{\nu}={n}_{\nu}\\ {s}_{\nu}^{2}{y}_{\nu}^{T}M{y}_{\nu}-{y}_{\nu}^{T}K{y}_{\nu}={s}_{\nu}{n}_{\nu}\end{array}\)
La combinaison de ces deux équations conduit à:
\({s}_{\nu}^{2}{y}_{\nu}^{T}{\mathit{My}}_{\nu}+{s}_{\nu}{y}_{\nu}^{T}{\mathit{By}}_{\nu}+{y}_{\nu}^{T}{\mathit{Ky}}_{\nu}=0\) (3)
De même, les termes diagonaux de la deuxième ligne des deux systèmes d’équations (1) et (2) conduisent aux équations suivantes:
\({y}_{\nu}^{T}B\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}+2\Re ({s}_{\nu}){y}_{\nu}^{T}M\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}=0\) (4)
\({s}_{\nu}\stackrel{̄}{{s}_{\nu}}{y}_{\nu}^{T}M\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}-{y}_{\nu}^{T}K\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}=0\) (5)
Ces trois équations (3) (4) et (5) doivent également être vérifiées pour tous les modes propres identifiés sur la structure réelle. La technique de recalage présentée ici consiste à trouver les paramètres du modèle numérique qui permettent de vérifier les trois équations.
Expérimentalement, la déformée modale est mesurée uniquement sur les directions d’observation (directions sensibles des capteurs). Une expansion de cette déformée sur le modèle numérique est nécessaire afin d’obtenir \({y}_{\nu}\) .
On convient de rendre les différentes équations associées à chaque mode à la même dimension. On aboutit alors au système d’équations suivant:
\(\frac{{y}_{\nu}^{T}B\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}+2\Re ({s}_{\nu}){y}_{\nu}^{T}M\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}}{\mid {n}_{\nu}\mid }={z}_{1\nu }\)
\(\frac{{s}_{\nu}\stackrel{̄}{{s}_{\nu}}{y}_{\nu}^{T}M\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}-{y}_{\nu}^{T}K\stackrel{̄}{{y}_{\nu}}}{\mid {n}_{\nu}{s}_{\nu}\mid }={z}_{2\nu }\)
\(\frac{{s}_{\nu}^{2}{y}_{\nu}^{T}{\mathit{My}}_{\nu}+{s}_{\nu}{y}_{\nu}^{T}{\mathit{By}}_{\nu}+{y}_{\nu}^{T}{\mathit{Ky}}_{\nu}}{{n}_{\nu}{s}_{\nu}}={z}_{3\nu }\)
Pour plus de commodité, on choisit \({n}_{\nu}\) égale à la norme euclidienne de \({y}_{\nu}\) .
On dépose ensuite ces quantités dans les vecteurs \({Z}_{1}\) , \({Z}_{2}\) et \({Z}_{3}\) afin de pouvoir définir la forme générale de la fonctionnelle \(\epsilon\) à minimiser.
\({Z}_{1}=\left[\begin{array}{c}⋮\\ {z}_{1\nu }\\ ⋮\end{array}\right]={Z}_{\mathrm{1r}}\)
\({Z}_{2}=\left[\begin{array}{c}⋮\\ {z}_{2\nu }\\ ⋮\end{array}\right]={Z}_{\mathrm{2r}}\)
\({Z}_{3}=\left[\begin{array}{c}⋮\\ {z}_{3\nu }\\ ⋮\end{array}\right]={Z}_{\mathrm{3r}}+j{Z}_{\mathrm{3i}}\)
\(\epsilon =\left({Z}_{\mathrm{1r}}^{T}{W}_{1}{Z}_{\mathrm{1r}}\right)+\left({Z}_{\mathrm{1i}}^{T}{W}_{1}{Z}_{\mathrm{1i}}\right)+\left({Z}_{\mathrm{2r}}^{T}{W}_{2}{Z}_{\mathrm{2r}}\right)+\left({Z}_{\mathrm{3r}}^{T}{W}_{3}{Z}_{\mathrm{3r}}\right)\)
Où \({W}_{1}\) , \({W}_{1}\) et \({W}_{1}\) sont les pondérations associées aux différents blocs d’équations.
On note toutefois que la déformée modale doit être exprimée sur le modèle numérique. Elle est obtenue par expansion de la mesure sur le modèle numérique. On utilise généralement les modes du modèle numérique comme base d’expansion.
Une illustration de cette technique se trouve dans sdld21e.