2. Recalage modal d’un système conservatif#
Deux techniques de recalage modal sont présentées. La première exploite la sensibilité des modes propres et la deuxième exploite la diagonalité des matrices généralisées.
2.1. Exploitation de l’écart entre déformées modales et l’écart entre fréquences propres#
On essaie de trouver les paramètres du modèle numérique tels que la déformée modale calculée restreinte aux points d’observation soit colinéaire à la déformée modale obtenue expérimentalement et que la fréquence propre associée soit égale fréquence propre identifiée expérimentalement.
Pour cela, on calcule le produit scalaire normé entre la déformée propre mesurée et la déformée propre calculée restreinte aux ddl associés aux points de mesure. Ce calcul correspond au calcul de MAC (Modal Assurance Criterion).
Si on désigne respectivement par \(({y}_{{i}_{\mathit{num}}},{f}_{{i}_{\mathit{num}}})\) et \(({y}_{{i}_{\mathit{mes}}},{f}_{{i}_{\mathit{mes}}})\) les modes propres calculés et les modes propres identifiés, on a:
\(\mathit{MAC}({y}_{{i}_{\mathit{num}}},{y}_{{i}_{\mathit{mes}}})=\frac{{({y}_{{i}_{\mathit{num}}}^{T}{y}_{{i}_{\mathit{mes}}})}^{2}}{({y}_{{i}_{\mathit{num}}}^{T}{y}_{{i}_{\mathit{num}}})({y}_{{i}_{\mathit{mes}}}^{T}{y}_{{i}_{\mathit{mes}}})}\)
On définit les vecteurs \(V\) et \({F}_{r}\) tels que:
\(V=\left(\begin{array}{c}⋮\\ \mathit{MAC}({y}_{{i}_{\mathit{num}}},{y}_{{i}_{\mathit{mes}}})-1\\ ⋮\end{array}\right)\)
\({F}_{r}=\left(\begin{array}{c}⋮\\ {f}_{{i}_{\mathit{num}}}-{f}_{{i}_{\mathit{mes}}}\\ ⋮\end{array}\right)\)
La fonctionnelle à minimiser se formule comme suit:
\(ϵ={V}^{T}{W}_{\mathit{MAC}}V+{F}_{r}^{T}{W}_{\mathit{freq}}{F}_{r}\)
Il faut bien évidement évaluer l’écart entre deux modes analogues. Ainsi, cette technique n’est pas adaptée à une structure où la densité modale est importante.
Cette procédure est utilisée par MACR_RECAL (option DYNAMIQUE) dans le cas test sdls121a [V2.03.121].
2.2. Exploitation de l’orthogonalité des modes propres mesurés#
A partir des déformées modales relevées aux points d’observation, on effectue une expansion sur le modèle numérique support. On essaie, par la suite, de retrouver les paramètres du modèle numérique de sorte que les matrices de masse et de raideur généralisées relatives aux modes identifiés expérimentalement soient diagonales et que l’écart entre la pulsation propre mesurée et la pulsation propre calculée soit minimal.
On estime la pulsation propre (ou plus exactement le carré de la pulsation) en calculant le rapport entre la raideur généralisée et la masse généralisée du mode identifié.
Cette technique ne nécessite, ni un appariement entre le mode expérimental et le mode numérique, ni un calcul modal. Elle est donc adaptée aux structures où la densité modale est élevée. Elle nécessite néanmoins l’expansion des modes identifiés sur le modèle numérique.
L’expansion du i-ième mode identifié sur le modèle numérique peut se faire de la manière suivante:
On choisit une base d’expansion composée de déformées modales calculées avec le modèle numérique support:
\(Y=[{y}_{1}\dots {y}_{n}]\)
On calcule ensuite les coordonnées \({\eta}_{i}\) de la déformée modale identifiée \({{\Phi}_{i}}^{\mathit{mes}}\) sur la base \(Y\) , restreinte aux points d’observation. Ces coordonnées peuvent être obtenues par une minimisation de type moindres carrés.
\(\epsilon ={\left({{\Phi}_{i}}^{\mathit{mes}}-Y{\eta}_{i}\right)}^{T}{W}_{i}\left({{\Phi}_{i}}^{\mathit{mes}}-Y{\eta}_{i}\right)\)
On effectue par la suite une expansion de la déformée identifiée sur les ddl du modèle numérique: \({\Phi}_{i}=Y{\eta}_{i}\)
L’étape suivante consiste à calculer les matrices généralisées normalisées:
\({\mathit{MAC}}_{W}(i,j)=\frac{{({{\Phi}_{i}}^{T}W{\Phi}_{j})}^{2}}{({{\Phi}_{i}}^{T}W{\Phi}_{i})({{\Phi}_{j}}^{T}W{\Phi}_{j})}\)
Si la matrice de pondération \(W\) est égale à la matrice de masse \(M\) ou à la matrice de rigidité \(K\) , \({\mathit{MAC}}_{W}\) devient une matrice diagonale.
Il s’agit ensuite de trouver les termes des matrices \(K\) et \(M\) qui minimisent à la fois:
\({\mathit{MAC}}_{K}(i,j)\) pour \(i\ne j\)
\({\mathit{MAC}}_{M}(i,j)\) pour \(i\ne j\)
Ecart entre la i-ième pulsation propre identifiée \({\widehat{{\omega}_{i}}}^{2}\) et \({{\omega}_{i}}^{2}=\frac{{\Phi}_{i}^{T}K{\Phi}_{i}}{{\Phi}_{i}^{T}M{\Phi}_{i}}\)
La matrice \({\mathit{MAC}}_{W}\) est symétrique, on peut ranger sa partie triangulaire inférieure dans un vecteur nommé \({\mathit{MAC}}_{W(i<j)}\) . La fonctionnelle à minimiser peut se formuler alors comme suit:
\(\epsilon ={\mathit{MAC}}_{K(i<j)}^{T}{W}_{K}{\mathit{MAC}}_{K(i<j)}+{\mathit{MAC}}_{M(i<j)}^{T}{W}_{M}{\mathit{MAC}}_{M(i<j)}+\sum_{i}{\left({\widehat{{\omega}_{i}}}^{2}-\frac{{\Phi}_{i}^{T}K{\Phi}_{i}}{{\Phi}_{i}^{T}M{\Phi}_{i}}\right)}^{T}{W}_{i}\left({\widehat{{\omega}_{i}}}^{2}-\frac{{\Phi}_{i}^{T}K{\Phi}_{i}}{{\Phi}_{i}^{T}M{\Phi}_{i}}\right)\)
On peut choisir les matrices de pondération suivante:
\({W}_{K}\) = nb_modes_identifiés * \({I}_{d}\)
\({W}_{M}\) = nb_modes_identifiés * \({I}_{d}\)
\({W}_{i}\) = 0.5 * nb_modes_identifiés * (nb_modes_identifiés – 1) * \({I}_{d}\)
Où \({I}_{d}\) est la matrice identité
Ce choix de pondération permet d’affecter le même poids aux équations sur les fréquences et aux équations sur les termes extra-diagonaux des matrices généralisées.
La mise en œuvre de cette démarche de recalage modal est illustrée dans la modélisation d du cas test sdls121 [V2.03.121].