1. Introduction

La taille des modèles utilisés pour les calculs de réponses en dynamique linéaire est de plus en plus importante, et les besoins sur la précision des résultats conduisent à mener des calculs plus fins et plus coûteux. Pour améliorer significativement les temps de calculs des réponses de ces systèmes aux diverses sollicitations, il est intéressant de construire un sous-espace de dimension réduite qui permet de projeter le problème complet, et ainsi accélérer les différents calculs de réponse. Ces modèles de composants réduits peuvent être utilisés soit seuls, soit dans des approches par sous-structuration, pour des analyses linéaires mais aussi pour certaines analyses non-linéaires, telles que la présence de chocs. Cette approche est également particulièrement intéressante lorsqu’on doit tenir compte des dispositifs internes de dissipations propres à chaque structure.

La méthode proposée pour enrichir un sous-espace initial, construite sur la base des modes propres du système, s’appuie sur les méthodes de résidus ([bib1], [bib2]). Cette méthode permet, à partir d’une solution approchée de la solution, de construire des vecteurs permettant d’améliorer la prédiction pour un problème donné. Cette méthode, itérative, donne de très bons résultats avec un nombre limité d’itérations (en général, deux itérations suffisent).

La première itération est en général réalisée en calculant les termes appelés classiquement «corrections statiques», ou «modes statiques». Ce point est développé dans la première section de ce document. Cette technique est particulièrement adaptée pour la réduction de modèles en présence d’efforts extérieurs peu nombreux, même s’ils présentent une distribution spatiale (pression fluctuante, gravité, etc.). Cette approche permet également de traiter efficacement les problèmes de chocs en adoptant une méthode de pénalisation (sous réserve qu’on s’intéresse aux phénomènes «loin» de la zone de chocs). On donne également dans cette partie des indications importantes pour contrôler la qualité des modèles réduits construits avec cette approche.

Dans la deuxième partie, on discutera des cas particuliers des modèles réduits de type Craig&Bampton ou McNeal, utilisés pour les approches en sous-structuration dynamique. Ces deux méthodes peuvent être vues comme la généralisation des enrichissements par corrections statiques. On présentera également des techniques permettant de limiter la taille de ces modèles, en particulier pour la représentation des comportements d’interfaces.

Dans la troisième partie, on étend les concepts présentés aux cas des structures présentant des efforts internes tels que dans les cas amortis. On discutera principalement des modèles d’amortissement visqueux, hystérétiques et viscoélastiques. Les deux premières approches sont en effet celles retenues usuellement pour les études en dynamique. Le cas de l’amortissement associé à une loi viscoélastique est intéressant puisque cette loi introduit des variables internes non présentes dans la loi de comportement initiale du matériau, mais qui peuvent être prises en compte par le biais de la réduction. Le cas particulier du modèle d’amortissement de Rayleigh, utilisé fréquemment pour les analyses sismiques, n’est pas présenté, puisque dans ces cas particuliers, les modes propres du système diagonalisent aussi les matrices associées à la dissipation, et la base ainsi construite ne nécessite pas d’enrichissement particulier, en-dehors de ceux associés aux efforts extérieurs.

Dans la quatrième partie, on présente, à l’aide d’une étude versée dans la base de Code_Aster (étude n°3185: Calcul des modes complexes d’une plaque sandwich incluant un matériau visco-élastique), les différentes techniques présentées. Ces exemples permettent également de présenter l’implémentation des méthodes dans Code_Aster .