6. Cas test pour Code_Aster#

Pour mettre en œuvre le calcul de modes complexes sur un modèle réduit, on introduit un exemple simple. Le calcul des modes sur cette structure sera réalisé avec Code_Aster. On comparera les résultats obtenus en utilisant d’abord le modèle complet, puis différents modèles réduits. On détaillera ensuite le fichier de commande type permettant de réaliser ce calcul, en insistant sur les points non abordés dans la documentation officielle.

6.1. Note sur les études présentées#

Les fichiers de commande utilisés pour les calculs des modes complexes des modèles réduits sont disponibles dans la base des études, sous le numéro d’étude 3185. Ils ne présentent pas une manière optimisée de réaliser les calculs, en particulier dans le calcul des résidus et la construction des bases de projection. Sur ce point, on rappelle que des développements ont été étudiés pour optimiser cette procédure.

Cependant, il s’agit d’illustrer la démarche pour permettre à l’utilisateur de reproduire et d’adapter la méthodologie.

Les principaux points d’intérêt sont mis en lumière. Il s’agit principalement de:

La définition des matériaux: On doit en effet définir «doublement» les matériaux pour réaliser le calcul des résidus
Il faut assigner un amortissement hystérétique à chaque matériau, sous peine que celui ci ne soit pas correctement pris en compte. Pour les matériaux non dissipatifs, il faut donc fixer un amortissement hystérétique nul.
Les options pour le solveur de modes propres: Ce dernier doit être utilisé avec l’option «CENTRE» uniquement, même si les modes recherchés sont les premiers de la structure Les autres options ne sont pas supportées par le solveur.

6.2. Exemple numérique avec amortissement hystérétique#

L’exemple retenu pour cette étude est une plaque carrée de 1 mètre de coté et de 6 centimètres d’épaisseur, composée d’un matériau sandwich acier / matériau viscoélastique / acier. Les couches sont linéaires, élastiques et isotropes, parfaitement collées et d’épaisseur 2 centimètres. Le modèle éléments finis est présenté sur la Fig. 6.1. Cette plaque est encastrée sur un bord, et on s’intéresse aux 10 premiers modes de cette structure. Le module d’Young du matériau viscoélastique n’est pas réaliste. Il a été ajusté pour obtenir des amortissements raisonnables, malgré l’épaisseur de la couche. Ces propriétés sont rappelées dans le Tableau 6.1 .

Tableau 6.1 Propriétés des matériaux utilisés pour le calcul#
Matériau	Module de Young (\(\mathit{Pa}\) )	Coefficient de Poisson	Masse volumique (\({\mathit{kg.m}}^{-3}\) )	Taux de perte
Acier	2,1.1011	0,3	7800	0,0
Visco	1,5.1010	0,49	1400	1,0

Fig. 6.1 Modèle E.F. de la structure de référence#

Le modèle est construit en utilisant des éléments volumiques linéaires, avec un total de 9610 nœuds, soient 27900 degrés de liberté.

Les 10 premiers modes de la structure amortie sont calculés en utilisant code_aster . Dans chaque cas, on réalise le calcul sur un modèle réduit construit à partir des 20 premiers modes normaux uniquement (base \({T}_{20}\) ), et un modèle réduit construit à partir des 10 premiers modes normaux enrichi avec les résidus associés à ces 10 modes normaux (base \({T}_{10+10}\) ). Un calcul de référence réalisé avec le modèle complet non réduit est également réalisé. Les bases de réductions utilisées sont donc

(6.1)#\[{T}_{20}=[{\Phi}_{1}\cdots {\Phi}_{20}]\]

(6.2)#\[{T}_{10+10}=\left[[{\Phi}_{1}\cdots {\Phi}_{10}]{K}_{e}^{-1}{K}_{h}[{\Phi}_{1}\cdots {\Phi}_{10}]\right]\]

Les résultats obtenus avec les différents modèles sont présentés dans le Tableau 6.2 et le Tableau 6.3.

Tableau 6.2 Fréquences propres (en Hz) du modèle sandwich#
Complet	Base \({T}_{20}\)	Base \({T}_{10+10}\)	Erreur relative complet/modes (%)	Erreur relative complet/résidus (%)
61,84	61,39	61,84	-0,73	0
138,71	135,24	138,7	-2,5	-0,01
357,37	345,84	357,36	-3,23	0
449,34	436,52	449,29	-2,85	-0,01
485,45	465,42	485,41	-4,13	-0,01
533,39	533,27	533,4	-0,02	0
803,6	764,05	803,49	-4,92	-0,01
935,99	886,65	935,76	-5,27	-0,02
998,4	949,07	998,24	-4,94	-0,02
1053,3	995,94	1053,2	-5,45	-0,01

Les fréquences calculées à partir du modèle réduit sur 10 modes et 10 résidus sont quasiment identiques à celles calculées à partir du modèle complet. Les fréquences obtenues à partir du modèle réduit sur la base des 20 premiers modes normaux sont raisonnables, mais présentent néanmoins une erreur significative.

Tableau 6.3 Amortissements (en %) du modèle sandwich#
Complet	Base \({T}_{20}\)	Base \({T}_{10+10}\)	Complet/modes	Complet/résidus
1,4	2,16	1,4	54,29	0
3,78	6,07	3,74	60,58	-1,06
4,95	8,07	4,93	63,03	-0,4
4,3	6,9	4,27	60,47	-0,7
6,55	10,28	6,51	56,95	-0,61
1,91	1,91	1,9	0	-0,52
8,33	12,71	8,27	52,58	-0,72
9,3	13,9	9,29	49,46	-0,11
8,08	12,55	8,06	55,32	-0,25
9,35	14,12	9,21	51,02	-1,5

Le calcul des amortissements réduits est, en revanche, beaucoup plus tranché. Les résultats obtenus avec le modèle réduit sur les modes normaux uniquement, à l’exception du mode 6, conduit à une surestimation très nette de l’amortissement. L’intégration des résidus dans la base de réduction du modèle améliore très nettement les résultats. L’erreur maximale sur le calcul, par rapport au modèle de référence, est en effet juste supérieure au pour-cent, pour une base de projection de taille équivalente dans les deux cas.

6.3. Exemple numérique avec amortissement viscoélastique décrit par des variables internes#

La même géométrie a été reprise pour construire cette étude. Cependant, il n’est pas possible de construire de cas test de référence, utilisant le modèle non réduit, avec Code_Aster . Les résultats de référence, calculés sur le modèle complet, ont donc été obtenus avec Matlab et la Structural Dynamic Toolbox . Les caractéristiques des matériaux utilisés sont présentés dans le Tableau 6.4.

Tableau 6.4 Propriétés des matériaux utilisés#
Matériau	Module de Young (\(\mathit{Pa}\) )	Coefficient de Poisson	Masse volumique (\({\mathit{kg.m}}^{-3}\) )	Temps de relaxation (\(s\) )
Acier	2,1.1011	0,3	7800	\(\infty\)
Visco	4,53.106	0,49	1400	\(\infty\)
	3,51.106	0,49		5,58.10-2
	1,395.107	0,49		3,20.10-3
	4,04.107	0,49		3,01.10-4
	1,20.108	0,49		4,58.10-5
	7,57.108	0,49		5,93.10-6

Les résultats obtenus avec le modèle complet et le modèle réduit sont présentés dans le Tableau 6.5. Le modèle réduit a été construit sur la base des dix premiers modes propres de la structure non dissipative.

Tableau 6.5 Comparaison des résultats – Fréquences et amortissements#
Complet		Réduit
Fréq. (\(\mathit{Hz}\) )	Amor. (%)	Fréq. (\(\mathit{Hz}\) )	Amor. (%)
25,26	7,00	25,26	7,00
48,41	10,60	47,96	10,85
150,61	8,55	150,59	8,55
174,11	11,39	174,07	11,40
186,38	8,69	186,17	8,88
309,68	10,10	309,64	10,11
426,46	8,04	426,36	8,08
438,48	9,80	439,97	10,31
463,72	8,93	463,77	8,98
523,22	0,04	523,22	0,04

Les résultats obtenus sont très bons, et l’erreur pour les dix premiers modes est très faible, qu’il s’agisse des fréquences ou des amortissements.