2. Modèle d’amortissement hystérétique#

Le modèle d’amortissement hystérétique est utilisable pour traiter les réponses harmoniques de structures avec des matériaux visco-élastiques. Le cœfficient d’amortissement hystérétique \(\eta\) est déterminé à partir d’un essai sous chargement cyclique harmonique à la pulsation \(\omega\) pour lequel on obtient une relation contrainte-déformation qui permet de définir :

  • l’énergie dissipée par cycle sous la forme :

    \({E}_{d}={\int}_{\text{cycle}}\sigma d\varepsilon\)

  • le module d’Young complexe \({E}^{\text{*}}\) à partir de la relation contraintes-déformations:

    \(\sigma ={\sigma}_{0}{e}^{j\omega t}\) et \(\varepsilon ={\varepsilon}_{0}{e}^{j(\omega t-\varphi )}\)

    avec les amplitudes : \({\sigma}_{0}\) et \({\varepsilon}_{0}\), la phase : \(\varphi\)

    \(\text{E*}=\frac{\sigma}{\varepsilon}=(\frac{{\sigma}_{0}}{{\varepsilon}_{0}}){e}^{j\varphi }=(\frac{{\sigma}_{0}}{{\varepsilon}_{0}})(\cos\varphi +j\sin\varphi )\) où \(E\text{*}={E}_{1}+j{E}_{2}={E}_{1}(1+j\eta )\)

    avec :

    • partie réelle : \({E}_{1}=(\frac{{\sigma}_{0}}{{\varepsilon}_{0}})(\cos\varphi )\)

    • partie imaginaire : \({E}_{2}=(\frac{{\sigma}_{0}}{{\varepsilon}_{0}})(\sin\varphi )\)

    • facteur de dissipation : \(\eta =\frac{{E}_{1}}{{E}_{2}}=\tan\varphi\)

Ceci conduit aux équations de la dynamique des structures :

\(M\ddot{u}+ K (1+j.\eta) u=f(\Omega )\)

avec \(K\) matrice de rigidité élastique réelle, \(M\) matrice de masse et \(\eta\) le coefficient d’amortissement hystérétique. Notons que l’on parle souvent de matrice de rigidité complexe.

Ce modèle est une version simplifiée du modèle visco élastique standard, et présente plusieurs inconvénients :

  • Le modèle obtenu ne peut être transposé dans le domaine temporel, puisque ce modèle ne serait pas causal,

  • Ce modèle ne présente pas de dépendance de l’amortissement à la fréquence, comme le modèle viscoélastique standard

Il constitue cependant une bonne approximation pour le calcul de réponses harmoniques dans une bande de fréquence raisonnablement étroite, et présente également l’avantage d’être simple à mettre en œuvre.

2.1. Amortissement hystérétique « global »#

Cette modélisation, facile à mettre en œuvre, correspond à :

\((-M{\omega}^{2}+j.\eta K+K)u=f(\Omega )\)

Elle est disponible actuellement, en utilisant l’opérateur COMB_MATR_ASSE [U4.72.01], après avoir assemblé la matrice de rigidité à coefficients réels, mais elle est d’une utilité faible :

  • validation d’algorithmes de résolution,

  • inutile pour les études industrielles, car elle ne permet pas de représenter l’hétérogénéité de la structure par rapport à l’amortissement (dissipation localisée dans des zones particulières de la structure traitées avec des matériaux visco-élastiques).

2.2. Amortissement hystérétique des éléments du modèle#

2.2.1. Caractéristiques d’amortissement#

Il est possible de construire une matrice de rigidité complexe à partir de chaque élément du modèle, comme pour la rigidité réelle et la masse.

Deux fonctionnalités sont utilisables :

  • l’affectation d’éléments discrets, sur des mailles POI1 ou SEG2, par l’opérateur AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01]. Celui-ci permet de définir, avec plusieurs modes de description possibles, une matrice de rigidité réelle pour chaque degré de liberté et un cœfficient d’amortissement hystérétique à appliquer à cette matrice AMOR_HYST.

  • la définition d’une caractéristique d’amortissement pour tout matériau élastique par l’opérateur DEFI_MATERIAU [U4.43.01] par le mot clé AMOR_HYST.

Ce matériau est ensuite affecté aux mailles concernées.

Dans le cas où certains matériaux ne seraient pas considérés comme affectés par de l’amortissement hystérétique, il est nécessaire de leur affecter un amortissement hystérétique nul.

2.2.2. Calcul des matrices d’amortissement#

Pour tous les types d’éléments finis (de milieux continus, structuraux ou discrets), il est possible de calculer les matrices élémentaires complexes correspondant à l’option de calcul RIGI_MECA_HYST, après avoir calculé les matrices élémentaires correspondantes aux options de calcul RIGI_MECA. Chaque matrice élémentaire est alors de la forme :

  • quand le matériau \(i\), de caractéristiques d’amortissement hystérétique \({\eta}_{i}\), est affecté à l’élément \({k}_{elem}^{*} = {k}_{elem} (1 + j.{\eta}_{i})\)

  • pour un élément discret défini par une matrice de rigidité K et un coefficient d’amortissement hystérétique \(\eta\) \({k}_{elem}^{*} = {k}_{discret} (1 + j.{\eta})\)

Cette opération est possible avec l’opérateur CALC_MATR_ELEM [U4.61.01] option RIGI_MECA_HYST. L’assemblage de la matrice de rigidité complexe \(K\ast\), à partir des matrices élémentaires est obtenu avec l’opérateur ASSE_MATRICE habituel [U4.61.22]. On notera que l’on doit utiliser la même numérotation et le même mode de stockage que pour la matrice de masse (opérateur NUME_DDL [U4.61.11]).

Le chargement utilisé pour le calcul de la matrice de rigidité réelle (option RIGI_MECA) doit être renseigné par le mot clé CHARGE pour le calcul de la matrice de rigidité élémentaire complexe.

2.2.3. Utilisation de la matrice de rigidité complexe#

La matrice de rigidité complexe \(K\ast\) est utilisable pour l’analyse dynamique linéaire directe (mot-clé MATR_RIGI) avec l’opérateur de réponse dynamique linéaire DYNA_VIBRA [U4.53.03].

Dans le cas où le modèle à prendre en compte pour le calcul harmonique est de taille importante, il peut être intéressant de recourir aux méthodes de réduction de modèles. Une approche efficace pour les modèles fortement dissipatifs est disponible dans la documentation [U2.06.04].

La recherche de valeurs propres ne peut se faire qu’avec certains paramétrages de l’opérateur de recherche de valeurs propres CALC_MODES [U4.52.02].

La documentation de référence [R5.01.02] précise les types de problèmes qu’on peut traiter et les paramétrages possibles.

Cette recherche conduit à des modes propres complexes, qui ne pourront donc pas être utilisés pour des calculs dans le domaine temporel.

Néanmoins, dans les cas où l’amortissement introduit reste faible, il est possible de calculer les modes réels associés au modèle non dissipatif associé, et de leur attribuer les taux d’amortissements calculés par le calcul de modes complexes pour construire un modèle réduit sur base modale. Ce système peut ensuite être utilisé pour réaliser un calcul transitoire dans l’espace modal avec DYNA_VIBRA [U4.53.03].