2. Choix du modèle d’endommagement#

Pour représenter la dégradation d’un matériau voire sa rupture, l’une des méthodes possibles (notamment lorsqu’on ne connaît pas le mode de ruine) est d’utiliser une loi de comportement «adoucissante», c’est-à-dire telle que, une fois passé un seuil (en contrainte ou en déformation), la contrainte diminue lorsque la déformation augmente. Ce type de comportement peut être obtenu :

  • en introduisant une variable d’endommagement \(D\) comprise entre \(0\) et \(1\) (= mécanique de l’endommagement telle qu’introduite par Kachanov ou Lemaitre): lois ENDO_FRAGILE, ENDO_ISOT_BETON, ENDO_ORTH_BETON,MAZARS dans Code_Aster;

  • en utilisant des modèles de plasticité avec un «écrouissage» négatif comme par exemple les lois BETON_DOUBLE_DP, DRUCK_PRAGER, mais aussi les différentes lois de sol disponibles dans Code_Aster ;

  • en introduisant une variable telle que la porosité couplée à de la plasticité pour la rupture ductile: loi de ROUSSELIER dans Code_Aster .

Quelle que soit la méthode employée, toutes ces lois adoucissantes «locales» conduisent à la même difficulté : il arrive un moment où le problème devient mal posé et la solution obtenue devient fortement dépendante du maillage. En effet, l’endommagement se localise dans une bande ayant pour épaisseur un seul élément (d’où une énergie de fissuration qui tend vers zéro quand on raffine le maillage) et il y a dépendance du «chemin» de fissuration à la topologie du maillage. La pertinence de ces calculs (bien qu’encore assez répandus dans la littérature) est donc très contestable, et le fait de faire dépendre l’énergie dissipée de la taille de maille n’apporte qu’une solution très partielle.

Pour contourner ce problème, il est couramment admis qu’il faut introduire dans le problème à résoudre une longueur caractéristique, qui va contrôler l’épaisseur de la zone endommagée indépendamment du maillage et permettre à nouveau d’avoir convergence de la solution lorsqu’on raffine le maillage.

Plusieurs méthodes de régularisation ont été mises au point ces dernières années qui ont chacune leurs avantages et leurs limites. Dans Code_Aster , les méthodes disponibles s’appuient toutes sur une notion de gradient (par opposition aux méthodes de type intégrales, largement répandues dans la littérature également).

On distingue les méthodes qui introduisent :

  • le gradient de la variable d’endommagement (modèle GRAD_VARI, confer documentation [R5.04.01]);

  • les modélisations second gradient et second gradient de dilatation qui introduisent une énergie dépendant totalement, ou en partie, des composantes du gradient de la déformation (modèles 2DGet DIL, cf. doc [R5.04.03]);

  • les modélisations à gradient de gonflement (modèle INCO_UPG, cf. doc [R3.06.08]).

Dans tous les cas, le principe est de pénaliser d’un point de vue énergétique la localisation de l’endommagement.

Le tableau ci-dessous récapitule pour les différentes lois de comportement, quelle modélisation régularisée est disponible (et valide) dans Code_Aster .

Loi de comportement

Modélisation

ENDO_FRAGILE

GRAD_VARI / 2DG

ENDO_ISOT_BETON

GRAD_VARI / 2DG

MAZARS

2DG

ENDO_ORTH_BETON

2DG

DRUCK_PRAGER

2DG/DIL

ROUSSELIER

INCO_UPG

Tableau 1: correspondance loi d’endommagement/modélisation non-locale

Remarques :

  1. Il n’existe pas de version non-locale du modèle BETON_DOUBLE_DP. La version implantée inclut toutefois une régularisation de type Hillerborg pour éviter le problème de l’énergie qui tend vers zéro quand la taille des éléments tend vers zéro.

  2. Toutes les lois de comportement peuvent être utilisées avec les modélisations 2DG et DIL. Cependant, la modélisation 2DG n’a pour l’instant été utilisée qu’avec les lois de sols et la modélisation DIL, n’a de sens que pour régulariser l” «endommagement volumique» : elle est donc bien adaptée pour traiter le cas des matériaux dilatants et donc des sols. Outre DRUCK_PRAGER, il est donc possible d’utiliser les lois CAM_CLAY (qui est un cas particulier de la loi de Hujeux) et HUJEUX (cf. thèse d’Alexandre Foucault et CR-AMA-09-154), VISC_DRUCK_PRAG (voir note H-T64-2009-03498) et LETK, BARCELONE, CJS, HOEK-BROWN ; mais le retour d’expérience avec ces lois est encore faible.

  3. La modélisation INCO_UPG est pour l’instant mal maîtrisée, et doit faire l’objet d’études et de développement complémentaires. On déconseille son utilisation.

  4. Le coût CPU des modélisations régularisées est important, d’une part parce qu’elles nécessitent de mailler assez finement (voir § 3 ) et d’autre parce qu’elles introduisent des degrés de liberté supplémentaires rendant les matrices à inverser beaucoup plus grandes et moins creuses.