1. Introduction#

1.1. Pourquoi utiliser X-FEM ?#

La méthode X-FEM [1] est une simple extension de la méthode des éléments finis. Elle autorise un maillage indépendant de la géométrie du problème. Frontières, trous, fissures deviennent des entités que l’on peut insérer, déplacer, propager, sans avoir à modifier le maillage. Un maillage simple et unique remplace ainsi plusieurs maillages complexes. Pour représenter une discontinuité ou une singularité au sein des éléments finis, la base des fonctions de forme est enrichie, en utilisant les propriétés de la partition de l’unité. En fissuration, la discontinuité de déplacement (ou de température) due à la fissure est introduite par une fonction Heaviside généralisée et l’ajout des champs asymptotiques en bout de fissure améliore la précision en mécanique de la rupture élastique. De plus, la méthode des «level sets» s’avère particulièrement pratique pour représenter des fissures 3D et efficace pour la phase de propagation, l’idée principale étant de considérer l’interface comme l’iso-zéro d’une fonction distance.

On peut utiliser X-FEM pour:

  • représenter une fissure (discontinuité des déplacements ou de la température),

  • représenter une interface entre deux solides disjoints (discontinuité des déplacements ou de la température ),

  • représenter un trou ou un vide (sous-épaisseur par exemple),

  • représenter l’interface entre deux matériaux (discontinuités des contraintes).

Représentation d’une fissure

En mécanique de la rupture, une fissure comporte deux lèvres et un fond de fissure. Les lèvres sont initialement confondues, sinon, on parle d’entaille. Le champ de déplacement (ou de température) est discontinu au travers des lèvres de la fissure, et le champ de contrainte est singulier en fond de fissure.

Dans Code_Aster , il est possible de définir une fissure (voir la mise en œuvre au § 18 ) grâce à deux fonctions level sets et de la faire propager.

Représentation d’une interface entre deux solides disjoints

Les deux solides sont séparés par une interface (exemples: une faille géologique entre deux couches, l’écrasement d’un lopin sur un bâti fixe, deux solides thermiquement isolés). Le champ de déplacement ou de température est discontinu au travers de l’interface. Les matériaux de part et d’autre de l’interface peuvent être différents, mais ont la même loi de comportement. Du contact est éventuellement défini sur l’interface.

Cette fonctionnalité est possible dans Code_Aster , en définissant l’interface par une fonction level set (voir la mise en œuvre au § 4 ).

Représentation d’un trou ou d’un vide

C’est un cas particulier du cas précédent où un des solides est du vide. Pour cela, aucune condition de contact n’est définie sur l’interface. Si aucun chargement n’est appliqué sur le solide correspondant au vide (sauf le blocage des modes rigides) il n’intervient pas dans le calcul, et joue le rôle de «vide».

Cette fonctionnalité est possible dans Code_Aster , en définissant l’interface entre la matière et le vide par une fonction level set (voir la mise en œuvre au § 5 ).

Représentation d’une interface dans un bimatériau

Dans un bi-matériau, les deux matériaux sont «collés», le déplacement au travers de l’interface entre les deux matériaux est continu, mais les contraintes sont discontinues.

Cette fonctionnalité n’est pas possible dans Code_Aster .

Dans la suite de ce document, on emploiera le terme général de «fissure», qui désignera soit une fissure, soit une interface.

1.2. Spécificité d’un calcul avec X-FEM#

Par rapport à un calcul classique, certaines étapes sont particulières:

  • création du maillage: le maillage ne comporte pas de fissure,

  • définition de la fissure: la fissure n’étant pas contenue dans le maillage, il faut la définir d’une autre manière,

  • modification du modèle: certains éléments doivent être enrichis afin de représenter une discontinuité de déplacement ou de la température au travers de la fissure et la singularité de contrainte en fond de fissure,

  • post-traitement de visualisation: afin de visualiser l’ouverture de la fissure ou la discontinuité du champ de température, il est nécessaire de créer un maillage de visualisation et les champs de résultat associés.

1.3. Documentation associée#

Documentation d’Utilisation:

  • DEFI_FISS_XFEM[U4.82.08];

  • MODI_MODELE_XFEM[U4.44.11];

  • POST_MAIL_XFEM [U4.82.21];

  • POST_CHAM_XFEM [U4.82.22];

  • PROPA_FISS[U4.82.11].

Documentation de Validation (cas tests) :

  • FORMA01: Travaux pratiques de la formation « Initiation»:Plaque trouée en élasticité: la modélisation D est traitée avec X-FEM [V3.02.326];

  • FORMA06: Travaux pratiques de la formation « Utilisation avancée »: plaque multi-fissurée en traction [V3.02.112];

  • FORMA07: Travaux pratiques de la formation « Utilisation avancée »: fissure circulaire en milieu infini (la modélisation B est traitée avec X-FEM) [V3.04.156];

  • HPLV103: Calcul de \(\mathit{KI}\) et de \(G\) thermo-élastique 3D pour une fissure circulaire [V7.03.103]- Validation de DEFI_FOND_FISS;

  • HSNV132: Fissure X-FEM en thermo-élasticité [V7.22.132];

  • HSLA304: Chaînage thermo-mécanique avec X-FEM, accès restreint [V7.12.304];

  • SDLS114: Calcul des facteurs d’intensité de contrainte d’une plaque fissurée par recombinaison modale [V2.03.114];

  • SDLS120: Plaque 2D fissurée soumise à un chargement en Mode \(I\) . Validation du calcul modal avec X-FEM [V2.03.120];

  • SDLV130: Plaque 3D fissurée soumise à un chargement en Mode \(I\) . Validation du calcul modal avec X-FEM [V2.03.130];

  • SSLP313 (DEFI_FOND_FISS): Fissure inclinée dans une plaque illimitée, soumise à une traction uniforme à l’infini [V3.02.313]- Validation de DEFI_FOND_FISS ;

  • SSLP315: Propagation d’une fissure inclinée dans en plaque en 2D [V3.02.315];

  • SSLP316: Validation de l” estimateur d’erreur X-FEM sur une plaque fissurée [V3.02.316];

  • SSLP317: Validation de la macro-commande RAFF_XFEM sur une plaque multi-fissurée [V3.04.317];

  • SSLP318: Propagation d’une fissure X-FEM non débouchante sollicitée en mode \(I\) [V3.02.318];

  • SSLP319: Propagation de deux fissures XFEM débouchantes sollicitées en mode \(I\) [V3.02.319];

  • SSLP320: Propagation d’une fissure X-FEM débouchante sollicitée en Mode \(I\) [V3.02.320];

  • SSLP321: Propagation d’une fissure X-FEM dans une plaque en flexion 3 points [V3.02.321];

  • SSLP322: Propagation d’une fissure X-FEM dans une plaque en flexion 3 points avec 3 trous [V3.02.322];

  • SSLP323: Propagation d’une fissure radiale débouchante sur un disque en rotation [V3.02.323];

  • SSLV110: Fissure elliptique dans un milieu infini [V3.04.110];

  • SSLV134: Fissure circulaire en milieu infini [V3.04.134];

  • SSLV154: Fissure circulaire en mode mixte [V3.04.154];

  • SSLV155: Fissure lentille en traction [V3.04.155];

  • SSLV311: Fissure en quart d’ellipse au coin d’un disque épais en rotation [V3.04.311]- Validation de DEFI_FOND_FISS ;

  • SSLV313: Tube sous pression fissuré - validation de la méthode X-FEM [V3.04.313];

  • SSLV314: Propagation d’une fissure plane en mode I pur en 3D [V3.04.314];

  • SSLV315: Propagation d’une fissure inclinée en mode mixte en 3D [V3.04.315];

  • SSLV316: Fissuration à propagation imposée avec X-FEM [V3.04.316];

  • SSLV319: Fissuration plane d’une fissure semi-elliptique[V3.04.319];

  • SSLV320: Propagation plane d’une fissure 3D se divisant et fusionnant avec X-FEM [V3.04.320];

  • SSLV321: Validation du pré-conditionnement X-FEM pour une interface rasante [V3.04.321];

  • SSNP110: Fissure de bord dans une plaque rectangulaire finie en élasto-plasticité [V6.03.110];

  • SSNP118: Validation des éléments de joint et d’interface en 2D plan et 3D [V6.03.118];

  • SSNP133: Fissuration d’une plaque trouée avec les modèles cohésifs [V6.03.133];

  • SSNP138: Fissure inclinée en 2D avec X-FEM [V6.03.138];

  • SSNP144: Utilisation d’un modèle à zones cohésives avec la méthode X-FEM [V6.03.144];

  • SSNP503: Contact en grands glissements avec X-FEM pour des fissures horizontales [V6.03.503];

  • SSNP504: Contact en grands glissements avec X-FEM pour des fissures obliques [V6.03.504];

  • SSNP505: Plaque multi-fissurée en bitraction/cisaillement avec X-FEM [V6.03.505];

  • SSNV108: Éprouvette CT - Round Robin Européen en Mécanique de la Rupture (1985) [V6.04.108];

  • SSNV166: Cylindre fissuré sous chargements multiples [V6.04.166]- Validation de DEFI_FOND_FISS ;

  • SSNV173: Barreau fissuré avec X-FEM [V6.04.173];

  • SSNV182: Bloc avec interface en contact frottant avec X-FEM [V6.04.182];

  • SSNV185: Fissure débouchante dans une plaque 3D de largeur finie avec X-FEM [V6.04.185];

  • SSNV186: LBB condition et contact frottant avec X-FEM [V6.04.186];

  • SSNV191: Validation des conditions de Neumann avec X-FEM en 3D [V6.04.191];

  • SSNV192: Éprouvette avec fissure centrale X-FEM [V6.04.192];

  • SSNV195: Barreau en multi-fissuration avec X-FEM [V6.04.195];

  • SSNV198: Conditions de Dirichlet avec X-FEM en 3D [V6.04.198];

  • SSNV201: Bloc avec interface en contact glissière avec X-FEM [V6.04.201];

  • SSNV203: Application d’une pression sur les lèvres d’une fissure avec X-FEM [V6.04.203];

  • SSNV209: Interface en contact-frottant avec X-FEM [V6.04.209];

  • SSNV245: Imposition de conditions de Dirichlet sur des éléments X-FEM heaviside à l’aide d’une fonction de l’espace [V6.04.245];

  • SSNV246: Application d’une pression répartie sur les lèvres d’une fissure X-FEM courbe traversant une colonne [V6.04.246];

  • SSNV247: Application d’une pression répartie sur les lèvres d’une fissure X-FEM courbe traversant une calotte sphérique [V6.04.247];

  • SSNV507: Rotation d’une inclusion rigide avec X-FEM [V6.04.507];

  • SSNV508: Bloc avec interface en traction et pression latérale sans contact [V6.04.508];

  • SSNV509: Chainette en contact frottant avec X-FEM quadratiques [V6.04.509];

  • SSNV510: Compression uniaxiale d’un bloc multi-fissuré [V6.04.510];

  • SSNV511: Bloc découpé par deux interfaces intersectées avec X-FEM [V6.04.511];

  • SSNV512: Bloc découpé par une fissure verticale se branchant entre deux fissures horizontale avec X-FEM [V6.04.512];

  • SSNV513: Bloc découpé par trois interfaces se banchant sequentiellement avec X-FEM [V6.04.513];

  • TTLA203: Cylindre avec fissure adiabatique à températures imposées [V4.19.203];

  • TTLP101: Plaque fissurée à températures imposées avec condition d’échange à travers les lèvres de la fissure [V4.23.101]

  • TPLP305: Barreau à températures imposées avec interface adiabtique de type X-FEM [V4.05.305];

  • WTNV143: Application d’une pression répartie sur les lèvres d’une fissure X-FEM pour le cas hydromécanique [V7.31.143];

  • ZZZZ255: Validation de l’option TEST_MAIL dans PROPA_FISS[V1.01.255];

  • ZZZZ282: Validation de la définition d’une fissure sur une grille par DEFI_FISS_XFEM[V1.01.282];

  • ZZZZ283: Validation de l’utilisation d’une grille avec une fissure X-FEM sur un maillage raffiné par Homard [V1.01.283];

  • ZZZZ298: Validation informatique de POST_K1_K2_K3[V1.01.298];

  • ZZZZ309: Validation des options topologiques ZONE_MAJet TOREdans DEFI_GROUP[V1.01.309];

  • ZZZZ339: Validation du calcul de G avec contraintes initiales en 3D [V1.01.339];

  • ZZZZ340: Validation du mot-clé TEMP_CONTNUE pour AFFE_CHAR_THER[V1.01.340];

  • ZZZZ346: Bifurcation d’une interface droite XFEM avec des éléments 2D quadratiques[V1.01.346];

  • ZZZZ358: Validation du mot-clé MODELE_THER de l’opérateur MODI_MODELE_XFEM[V1.01.358];

  • ZZZZ361: Cas de découpe dégénérés pour les éléments X-FEM 3D quadratiques[V1.01.361];

  • ZZZZ362: Vérification de la cohérence des champs produits par le sous-découpage X-FEM [V1.01.362];

Documentation de Référence:

  • Extended Finite Element Method: Généralités [R7.02.12];

  • Algorithmes de propagation de fissures avec X-FEM [R7.02.13];

  • Contact en petits glissements avec X-FEM [R5.03.54];

  • Contact en grands glissements avec X-FEM [R5.03.53].

  • Couplage hydromécanique avec XFEM [R7.0.18].

Descriptif Informatique:

  • Structures de Données liées à X-FEM [D4.10.02];

  • Mise en œuvre de l’approche «grands glissements avec X-FEM» [D9.05.06].