9. Annexes

9.1. Formules analytiques pour appliquer la méthode convergence-confinement au cas d’un massif rocheux et d’un soutènement élastiques et linéaires

Le milieu est supposé élastique linéaire isotrope et soumis à un champ de contraintes initial également isotrope (\({K}_{0}=1\) ).

Contrainte radiale, contrainte orthoradiale et déplacement radial à la paroi du tunnel en milieu élastique soumis à un taux de déconfinement \(\lambda\)

\(\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{R}=(1-\frac{\lambda .{R}^{2}}{{r}^{2}}).{\sigma}^{0}\\ {\sigma}_{\theta}=(1+\frac{\lambda .{R}^{2}}{{r}^{2}}).{\sigma}^{0}\\ {U}_{R}=\lambda \cdot \frac{{R}^{2}}{r}\cdot \frac{{\sigma}^{0}}{\mathrm{2G}}\end{array}\)

\(G\) est donné par la relation suivante: \(G=\frac{E}{2\cdot (1+\mathrm{\nu })}\)

Comportement du soutènement:

Soit \({K}_{s}\) la raideur du soutènement, elle est donnée par la relation suivante si on considère que le soutènement est assimilable à un tube épaisou mince (\({\nu}_{b}\) est le coefficient de Poisson du béton):

\({K}_{s}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{E}_{b}\cdot e}{(1-{\nu}_{b}^{2})\cdot R}& \text{si}R>10\cdot e\\ \frac{{E}_{b}\cdot ({R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2})}{(1+{\nu}_{b})\cdot \left[(1-2\cdot {\nu}_{b})\cdot {R}_{e}^{2}+{R}_{i}^{2}\right]}& \text{si}R\le 10\cdot e\end{array}\)

Soit \({P}_{s}\) la pression de confinement définie sur la figure suivante

On a donc:

\({P}_{s}\cdot R={\sigma}_{b}\cdot e\)

Si \({k}_{s}=\frac{{K}_{s}}{2\cdot G}\) représente la rigidité relative et \({\lambda}_{d}\) le taux de déconfinement à la mise en place du soutènement, alors la pression de soutènement et le déplacement radial en paroi sont donnés par:

\(\lbrace \begin{array}{}{P}_{s}=\frac{{k}_{s}}{1+{k}_{s}}\cdot (1-{\lambda}_{d})\cdot {\sigma}^{0}\\ {U}_{R}=\frac{1+{\lambda}_{d}\cdot {k}_{s}}{1+{k}_{s}}\cdot \frac{{\sigma}^{0}}{2\cdot G}\cdot R\end{array}\)

9.2. Organigramme de synthèse sur les méthodes permettant de simuler une excavation

Notations

Les noms des objets sont ceux des fichiers de commande présentées dans les annexes suivantes.

\(\mathit{SNL}\) signifie STAT_NON_LINE; \(\mathit{CC}\) signifie CREA_CHAMP; \(\mathit{CL}\) signifie conditions aux limites

Étape1 : Initialisation des contraintes
\(I\) : \(\mathit{SNL1}\) avec le chargement de poids propre ou de pression souhaité et un matériau doté d’un coefficient de Poisson éventuellement fictif		\(\mathit{II}\) : affectation par commande \(\mathit{CC}\) du champ souhaité
Étape2 : Récupération des réactions nodales au bord de la future galerie
\(\mathit{CC}\) pour extraire les contraintes issus de \(\mathit{SNL1}\) \(\mathit{SNL}2\) avec \(\mathit{CL}\) sur l’objet \(\mathit{BORD}\) en DIDI Récupération des réactions		\(\mathit{SNL}1\) avec \(\mathit{CL}\) sur l’objet \(\mathit{BORD}\) en DIDIsur modèle \(\mathit{SOL}\) Récupération des réactions	\(\mathit{SNL}1\) avec \(\mathit{CL}\) sur l’objet \(\mathit{BORD}\) en DIDIsur modèle SOL_REST Récupération des réactions
Étape 3: Déconfinement
\(\mathit{SNL}3\) avec le chargement du vecteur des réactions nodales et un matériau «mou» à la place du «vide»		\(\mathit{SNL}2\) (modèle \(\mathit{SOL}\) ) avec le chargement du vecteur des réactions nodales et un matériau «mou» à la place du «vide»	\(\mathit{SNL}2\) (un seul matériau et modèle SOL_REST) avec le chargement du vecteur des réactions nodales
Étape 4: Pose du soutènement
\(\mathit{SNL}4\) avec 3 matériaux: roche, béton et vide (méthode \(A\) ) pour achever le déconfinement		\(\mathit{SNL}3\) avec 3 matériaux: roche, béton et vide (méthode \(A\) ) pour achever le déconfinement	\(\mathit{CC}\) pour extraire les résultats de \(\mathit{SNL}2\) \(\mathit{SNL}3\) sur modèle SOL_REST+ BETON) pour calcul intermédiaire Combinaison des champs \(\mathit{CC}\) \(\mathit{SNL}4\) pour achever le déconfinement

9.3. Comparaison des contraintes obtenues par le calcul numérique et par la solution analytique

Cas du tunnel non soutenu

Cas du tunnel soutenu (à partir de 50% de déconfinement)