Annexes ======= .. _u2.04.06-formules-analytiques-methode-convergence-confinement: Formules analytiques pour appliquer la méthode convergence-confinement au cas d’un massif rocheux et d’un soutènement élastiques et linéaires --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Le milieu est supposé élastique linéaire isotrope et soumis à un champ de contraintes initial également isotrope (:math:`{K}_{0}=1` ). **Contrainte radiale, contrainte orthoradiale et déplacement radial à la paroi du tunnel en milieu élastique soumis à un taux de déconfinement** :math:`\lambda` :math:`\lbrace \begin{array}{}{\sigma}_{R}=(1-\frac{\lambda .{R}^{2}}{{r}^{2}}).{\sigma}^{0}\\ {\sigma}_{\theta}=(1+\frac{\lambda .{R}^{2}}{{r}^{2}}).{\sigma}^{0}\\ {U}_{R}=\lambda \cdot \frac{{R}^{2}}{r}\cdot \frac{{\sigma}^{0}}{\mathrm{2G}}\end{array}` :math:`G` est donné par la relation suivante: :math:`G=\frac{E}{2\cdot (1+\mathrm{\nu })}` **Comportement du soutènement:** .. _OLE_LINK1: Soit :math:`{K}_{s}` la raideur du soutènement, elle est donnée par la relation suivante si on considère que le soutènement est assimilable à un tube épaisou mince (:math:`{\nu}_{b}` est le coefficient de Poisson du béton): :math:`{K}_{s}=\lbrace \begin{array}{cc}\frac{{E}_{b}\cdot e}{(1-{\nu}_{b}^{2})\cdot R}& \text{si}R>10\cdot e\\ \frac{{E}_{b}\cdot ({R}_{e}^{2}-{R}_{i}^{2})}{(1+{\nu}_{b})\cdot \left[(1-2\cdot {\nu}_{b})\cdot {R}_{e}^{2}+{R}_{i}^{2}\right]}& \text{si}R\le 10\cdot e\end{array}` Soit :math:`{P}_{s}` la pression de confinement définie sur la figure suivante .. image:: images/10000000000000D8000000D450B1828F16CCE455.png :width: 2.2437in :height: 2.2083in .. _RefImage_10000000000000D8000000D450B1828F16CCE455.png: On a donc: :math:`{P}_{s}\cdot R={\sigma}_{b}\cdot e` Si :math:`{k}_{s}=\frac{{K}_{s}}{2\cdot G}` représente la rigidité relative et :math:`{\lambda}_{d}` le taux de déconfinement à la mise en place du soutènement, alors la pression de soutènement et le déplacement radial en paroi sont donnés par: :math:`\lbrace \begin{array}{}{P}_{s}=\frac{{k}_{s}}{1+{k}_{s}}\cdot (1-{\lambda}_{d})\cdot {\sigma}^{0}\\ {U}_{R}=\frac{1+{\lambda}_{d}\cdot {k}_{s}}{1+{k}_{s}}\cdot \frac{{\sigma}^{0}}{2\cdot G}\cdot R\end{array}` .. _u2.04.06-organigramme-synthese-methodes: Organigramme de synthèse sur les méthodes permettant de simuler une excavation ------------------------------------------------------------------------------ **Notations** Les noms des objets sont ceux des fichiers de commande présentées dans les annexes suivantes. :math:`\mathit{SNL}` signifie STAT_NON_LINE; :math:`\mathit{CC}` signifie CREA_CHAMP; :math:`\mathit{CL}` signifie conditions aux limites +------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ | **Étape1 : Initialisation des contraintes** | +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | :math:`I` : :math:`\mathit{SNL1}` avec le chargement de poids propre ou de pression souhaité et un matériau doté d’un coefficient de Poisson éventuellement fictif | :math:`\mathit{II}` : affectation par commande :math:`\mathit{CC}` du champ souhaité | | | | | .. image:: images/100006640000330E000036E1BEE86A9932F73C61.svg | | | | :width: 86 | | | | :height: 93 | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_100006640000330E000036E1BEE86A9932F73C61.svg: | | | | | | | | | +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | **Étape2 : Récupération des réactions nodales au bord de la future galerie** | +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | :math:`\mathit{CC}` pour extraire les contraintes issus de :math:`\mathit{SNL1}` | :math:`\mathit{SNL}1` avec :math:`\mathit{CL}` sur l’objet :math:`\mathit{BORD}` en DIDIsur modèle :math:`\mathit{SOL}` | :math:`\mathit{SNL}1` avec :math:`\mathit{CL}` sur l’objet :math:`\mathit{BORD}` en DIDIsur modèle SOL_REST | | | :math:`\mathit{SNL}2` avec :math:`\mathit{CL}` sur l’objet :math:`\mathit{BORD}` en DIDI | Récupération des réactions | Récupération des réactions | .. image:: images/10000AF40000330E000036E1AC88AA4AB507C89B.svg | | Récupération des réactions | | | :width: 86 | | | | | :height: 93 | | | | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_10000AF40000330E000036E1AC88AA4AB507C89B.svg: | | | | | | | | | | | +-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | **Étape 3: Déconfinement** | +--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | :math:`\mathit{SNL}3` avec le chargement du vecteur des réactions nodales et un matériau «mou» à la place du «vide» | | :math:`\mathit{SNL}2` (modèle :math:`\mathit{SOL}` ) avec le chargement du vecteur des réactions nodales et un matériau «mou» à la place du «vide» | :math:`\mathit{SNL}2` (un seul matériau et modèle SOL_REST) avec le chargement du vecteur des réactions nodales | | | | .. image:: images/10000F020000330E000042406790260678448080.svg | | | .. image:: images/10000E5C0000330E00003927B6CE8CD3EE0A5227.svg | | | :width: 86 | | | :width: 94 | | | :height: 93 | | | :height: 102 | | | | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_10000F020000330E000042406790260678448080.svg: | | | .. _RefImage_10000E5C0000330E00003927B6CE8CD3EE0A5227.svg: | | | | | | | | | | | | | +--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | **Étape 4: Pose du soutènement** | +--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | :math:`\mathit{SNL}4` avec 3 matériaux: roche, béton et vide (méthode :math:`A` ) pour achever le déconfinement | | :math:`\mathit{SNL}3` avec 3 matériaux: roche, béton et vide (méthode :math:`A` ) pour achever le déconfinement | :math:`\mathit{CC}` pour extraire les résultats de :math:`\mathit{SNL}2` | | | | .. image:: images/10000F020000330E000042406790260678448080.svg | | :math:`\mathit{SNL}3` sur modèle SOL_REST+ BETON) pour calcul intermédiaire | .. image:: images/100010AA00003B6E00003DB4E648CE7A8111549E.svg | | | :width: 86 | | Combinaison des champs :math:`\mathit{CC}` | :width: 94 | | | :height: 93 | | :math:`\mathit{SNL}4` pour achever le déconfinement | :height: 102 | | | | | | | | | | | | | | | .. _RefImage_10000F020000330E000042406790260678448080.svg0: | | | .. _RefImage_100010AA00003B6E00003DB4E648CE7A8111549E.svg: | | | | | | | | | | | | | +--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ Comparaison des contraintes obtenues par le calcul numérique et par la solution analytique ------------------------------------------------------------------------------------------ **Cas du tunnel non soutenu** .. image:: images/Object_61.svg .. _RefImage_Object_61.svg: **Cas du tunnel soutenu (à partir de 50% de déconfinement)** .. image:: images/1000020100000330000002138BA5B794EB2BBB91.png .. _RefImage_1000020100000330000002138BA5B794EB2BBB91.png: