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Badmann, N. Stockausen, M.J. Setzer. «The statistical thickness and the chemical potential of adsorbed water films». J. Colloid Interface Sci 82, 534-543. 1981
Barrett, L. Joyner, P. Halenda. «The determination of pore volume and area distributions in porous substances.» . Computations from Nitrogen Isotherms. 1896 . 1951
Brunauer, P.H. Emett, E. Teller. «Adsorption of gases in multimolecular layers.» J. Am. Chem. Soc 60, 309-319 (1938)
Rouquerol, F. et al., 2003. Texture des matériaux pulvérulents ou poreux. Tech. l’Ingénieur P1050, 1–24.
G.El Tabbal «Modelling the Drying Shrinkage of Porous Materials by Considering both Capillary and Adsorption Effects. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Volume 142, September 2020.
Contraintes généralisées et variables internes
Les contraintes:
Numéro |
Nom de composante Aster |
Contenu |
Modélisations |
1 |
SIXX |
\({\sigma}_{xx}^{'}\) |
Si mécanique (..M…) |
2 |
SIYY |
\({\sigma}_{yy}^{'}\) |
Si mécanique (..M…) |
3 |
SIZZ |
\({\sigma}_{zz}^{'}\) |
Si mécanique (..M…) |
4 |
SIXY |
\({\sigma}_{xy}^{'}\) |
Si mécanique (..M…) |
5 |
SIXZ |
\({\sigma}_{xz}^{'}\) |
Si mécanique (..M…) |
6 |
SIYZ |
\({\sigma}_{yz}^{'}\) |
Si mécanique (..M…) |
7 |
SIPXX |
\({\sigma}_{{p}_{xx}}\) |
Si mécanique (..M…) |
8 |
SIPYY |
\({\sigma}_{{p}_{yy}}\) |
Si mécanique (..M…) |
9 |
SIPZZ |
\({\sigma}_{{p}_{zz}}\) |
Si mécanique (..M…) |
10 |
SIPXY |
\({\sigma}_{{p}_{xy}}\) |
Si mécanique (..M…) |
11 |
SIPXZ |
\({\sigma}_{{p}_{xz}}\) |
Si mécanique (..M…) |
12 |
SIPYZ |
\({\sigma}_{{p}_{yz}}\) |
Si mécanique (..M…) |
13 |
M11 |
\({m}_{w}\) |
Dans tous les cas |
14 |
FH11X |
\({M}_{{w}_{x}}\) |
Dans tous les cas |
15 |
FH11Y |
\({M}_{{w}_{y}}\) |
Dans tous les cas |
16 |
FH11Z |
\({M}_{{w}_{z}}\) |
Dans tous les cas |
17 |
ENT11 |
\({h}_{w}^{m}\) |
Dans tous les cas avec thermique |
18 |
M12 |
\({m}_{{}_{\text{vp}}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
19 |
FH12X |
\({M}_{{\text{vp}}_{x}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
20 |
FH12Y |
\({M}_{{\text{vp}}_{y}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
21 |
FH12Z |
\({M}_{{\text{vp}}_{z}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
22 |
ENT12 |
\({h}_{\text{vp}}^{m}\) |
Si 2 pressions inconnues et thermique (..THH…) |
23 |
M21 |
\({m}_{{}_{\text{as}}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
24 |
FH21X |
\({M}_{{\text{as}}_{x}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
25 |
FH21Y |
\({M}_{{\text{as}}_{y}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
26 |
FH21Z |
\({M}_{{\text{as}}_{z}}\) |
Si 2 pressions inconnues (..HH…) |
27 |
ENT21 |
\({h}_{\text{as}}^{m}\) |
Si 2 pressions inconnues et thermique (..THH…) |
28 |
M22 |
\({m}_{{}_{\text{ad}}}\) |
Si modélisation de l’air dissous (…HH2…) |
29 |
FH22X |
\({M}_{{\text{ad}}_{x}}\) |
Si modélisation de l’air dissous (…HH2…) |
30 |
FH22Y |
\({M}_{{\text{ad}}_{y}}\) |
Si modélisation de l’air dissous (…HH2…) |
31 |
FH22Z |
\({M}_{{\text{ad}}_{z}}\) |
Si modélisation de l’air dissous (…HH2…) |
32 |
ENT22 |
\({h}_{\text{ad}}^{m}\) |
Si modélisation de l’air dissous et thermique (…THH2…) |
33 |
QPRIM |
\(Q'\) |
Si thermique |
34 |
FHTX |
\({q}_{x}\) |
Si thermique |
35 |
FHTY |
\({q}_{y}\) |
Si thermique |
36 |
FHTZ |
\({q}_{z}\) |
Si thermique |
Dans le cas sans mécanique, et pour les lois de comportements (LIQU_VAPE_GAZ,LIQU_VAPE, LIQU_AD_GAZ_VAPE , ’LIQU_AD_GAZ’) les variables internessont :
Numéro |
Nom de composante Aster |
Contenu |
1 |
\(\mathit{V1}\) |
\({\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{{\text{lq}}_{}}^{0}\) |
2 |
\(\mathit{V2}\) |
\(\varphi -{\varphi}^{0}\) |
3 |
\(\mathit{V3}\) |
\({p}_{\text{vp}}-{p}_{\text{vp}}^{0}\) |
4 |
\(\mathit{V4}\) |
\({S}_{\text{lq}}\) |
Dans le cas sans mécanique, et pour les lois de comportements (LIQU_GAZ,LIQU_GAZ_ATM,) les variables internessont :
Numéro |
Nom de composante Aster |
Contenu |
1 |
\(\mathit{V1}\) |
\({\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{{}_{\text{lq}}}^{0}\) |
2 |
\(\mathit{V2}\) |
\(\varphi -{\varphi}^{0}\) |
3 |
\(\mathit{V3}\) |
\({S}_{\text{lq}}\) |
Dans le cas sans mécanique, et pour les lois de comportements (LIQU_SATU,) les variables internessont :
Numéro |
Nom de composante Aster |
Contenu |
1 |
\(\mathit{V1}\) |
\({\rho}_{\text{lq}}-{\rho}_{{}_{\text{lq}}}^{0}\) |
2 |
\(\mathit{V2}\) |
\(\varphi -{\varphi}^{0}\) |
Dans le cas avec mécanique les premiers numéros seront ceux correspondant à la mécanique (\(\mathit{V1}\) dans le cas élastique, \(\mathit{V1}\) et suivantes pour des modèles plastiques). Le numéro des variables internes ci-dessus devra alors être incrémenté d’autant.
Éléments supplémentaires sur les conditions aux limites en THM
Dans ce qui suit on ne prend pas en compte l’air dissous (l’indice \(\mathit{lq}\) correspond alors à celui de l’eau \(w\) ) et on s’attache au cas non saturé.
Nous rappelons ici le choix des inconnues de pression.
Comportement |
LIQU_GAZ et LIQU_VAPE_GAZ |
\(\mathit{PRE1}\) |
Pression capillaire: \({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{lq}}\) |
\(\mathit{PRE2}\) |
Pression de gaz \({p}_{\text{gz}}={p}_{\text{vp}}+{p}_{\text{as}}\) |
A2.1 Formulation variationnelle des équations de conservation
On se réfère ici à [R7.01.11]. Ces équations sont
\(\dot{{m}_{\text{lq}}}+{\dot{m}}_{\text{vp}}+\text{Div}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}})=0\) éq A5.1-1
\(\dot{{m}_{\text{as}}}+\text{Div}({M}_{\text{as}})=0\) éq A5.1-2
La formulation variationnelle déduite est donnée par
\(\begin{array}{}-{\int}_{\Omega}(\dot{{m}_{\text{lq}}}+{\dot{m}}_{\text{vp}}){\pi}_{1}d\Omega +{\int}_{\Omega}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}).\nabla {\pi}_{1}d\Omega =\\ {\int}_{\partial \Omega }({M}_{{\text{lq}}_{\text{ext}}}+{M}_{{\text{vp}}_{\text{ext}}}).{\pi}_{1}d\Gamma \forall {\pi}_{1}\in {P}_{{1}_{\text{ad}}}\end{array}\) éq A5.1-3
\(\begin{array}{}-{\int}_{\Omega}\dot{{m}_{\text{as}}}{\pi}_{2}d\Omega +{\int}_{\Omega}{M}_{\text{as}}.\nabla {\pi}_{2}d\Omega =\\ {\int}_{\partial \Omega }{M}_{{\text{as}}_{\text{ext}}}.{\pi}_{2}d\Gamma \forall {\pi}_{2}\in {P}_{{2}_{\text{ad}}}\end{array}\) éq A5.1-4
Les pressions capillaires et de gaz sont liées aux pression d’eau, de vapeur et d’air sec par les relations:
\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{lq}}\) éq A5.1-5
\({p}_{\text{gz}}={p}_{\text{vp}}+{p}_{\text{as}}\) éq A5.1-6
La pression de vapeur n’est pas une variable indépendante. Elle est reliée à la pression de liquide \({p}_{\text{lq}}\) par les relations
\(\frac{{\text{dp}}_{\text{vp}}}{{\rho}_{\text{vp}}}=\frac{{\text{dp}}_{\text{lq}}}{{\rho}_{\text{lq}}}+({h}_{\text{vp}}^{m}-{h}_{\text{lq}}^{m})\frac{\text{dT}}{T}\) éq A5.1-7
\({\text{dh}}_{\text{lq}}^{m}={C}_{\text{lq}}^{p}\text{dT}+(1-3{\alpha}_{\text{lq}}T)\frac{{\text{dp}}_{\text{lq}}}{{\rho}_{\text{lq}}}\) éq A5.1-8
\({\text{dh}}_{\text{vp}}^{m}={C}_{\text{vp}}^{p}\text{dT}\) éq A5.1-9
Ces relations montrent que la pression de vapeur est déterminée complètement pas la connaissance de \({p}_{\text{lq}}\) (et de son évolution). Souvent, ces relations servent à établir la loi de Kelvin, \(\frac{{p}_{\text{lq}}-{p}_{\text{lq}}^{0}}{{\rho}_{\text{lq}}}=\frac{R}{{M}_{\text{vp}}^{\text{ol}}}T\ln(\frac{{p}_{\text{vp}}}{{p}_{\text{vp}}^{\text{sat}}(T)})\) , mais cette loi n’est pas utilisée directement dans Aster.
Les documents de référence Aster ne disent rien sur ce que sont les variables \({\pi}_{1}\) et \({\pi}_{2}\) . Mais deux éléments peuvent nous mettre sur la piste:
D’une part, \({\pi}_{1}\in {P}_{{1}_{\text{ad}}}\) et \({\pi}_{2}\in {P}_{{2}_{\text{ad}}}\) alors que \({P}_{{1}_{\text{ad}}}\) et \({P}_{{2}_{\text{ad}}}\) sont les espaces d’appartenance de \(\mathit{PRE1}\) et \(\mathit{PRE2}\) (incluant donc leurs conditions aux limites).
D’autre part, au chapitre 7. de [R7.01.10], on voit que la déformation virtuelle \({E}_{g}^{\text{*}\mathrm{el}}=(v,\varepsilon (v),{\pi}_{1},\nabla {\pi}_{1},{\pi}_{2},\nabla {\pi}_{2},\tau ,\nabla \tau )\) est liée au vecteur de déplacement nodaux virtuel \({U}^{\text{*}\mathrm{el}}=(v,{\pi}_{1},{\pi}_{2},\tau )\) par le même opérateur \({Q}_{g}^{\text{el}}\) que celui qui relie entre eux la déformation \({E}_{g}^{\text{el}}=(u,\varepsilon (u),{p}_{1},\nabla {p}_{1},{p}_{2},\nabla {p}_{2},T,\nabla T)\) et le déplacement nodal \({U}^{\text{el}}=(u,{p}_{1},{p}_{2},T)\) :
\({E}_{g}^{\text{*}\mathrm{el}}={Q}_{g}^{\text{el}}{U}^{\text{*}\mathrm{el}}\)
\({E}_{g}^{\text{el}}={Q}_{g}^{\text{el}}{U}^{\text{el}}\)
Il est alors clair que \({\pi}_{1}\) et \({\pi}_{2}\) sont des variations virtuelles de \({p}_{1}\) et \({p}_{2}\)
D’où le tableau:
\({p}_{1}={p}_{c}\Rightarrow {\pi}_{1}=\delta {p}_{c}={p}_{c}^{\text{*}}\)
\({p}_{1}={p}_{\text{lq}}\Rightarrow {\pi}_{1}=\delta {p}_{\text{lq}}={p}_{\mathrm{lq}}^{\text{*}}\)
\({p}_{2}={p}_{\text{gz}}\Rightarrow {\pi}_{2}=\delta {p}_{\text{gz}}={p}_{\mathrm{gz}}^{\text{*}}\)
A2.2 Cas de conditions aux limites faisant intervenir les inconnues principales
Ce que nous disons dans ce paragraphe et les suivants est relatif à une partie de la frontière \(\partial {O}_{d}\) sur laquelle des conditions sont prescrites: rien n’empêche bien sûr que ces conditions ne soient pas les mêmes sur des parties de frontières différentes. Nous traitons dans ce chapitre le cas habituel où on impose des conditions sur \(\mathit{PRE1}\) et/ou \(\mathit{PRE2}\) , par opposition au chapitre suivant où nous parlerons de relations linéaires entre inconnues.
\({p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{lq}}={p}_{{}_{c}}^{\text{imp}}\)
\({p}_{\text{gz}}={p}_{\text{as}}+{p}_{\text{vp}}={p}_{{}_{\text{gz}}}^{\text{imp}}\)
Les flux sont alors des résultats de calculs par [éq A5.1-3] et [éq A5.1-4]
Dirichlet \(\mathit{PRE1}\) , Neuman \(\mathit{PRE2}\)
C’est le cas où on impose une valeur à \(\mathit{PRE1}\) et une valeur au flux associé à \(\mathit{PRE2}\) , en ne disant rien sur \(\mathit{PRE2}\) ou en donnant une valeur à FLUN_HYDR2 de FLUX_THM_REP dans AFFE_CHAR_MECA. Appelons \({M}_{{2}_{\text{ext}}}\) cette quantité imposée, qui vaudra \(0\) si rien n’est dit relativement à \(\mathit{PRE2}\) . Nous noterons \({p}_{1}={p}_{{}_{1}}^{\text{imp}}\) la condition imposée sur \(\mathit{PRE1}\)
Ceci correspond à:
\(\begin{array}{}{p}_{c}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{lq}}={p}_{{}_{c}}^{\text{imp}}\\ {p}_{{}_{1}}^{\text{imp}}={p}_{{}_{c}}^{\text{imp}}\end{array}\)
Pour faire la démonstration dans le cadre non homogène, il faudrait introduire un relèvement de la condition \({p}_{1}={p}_{{}_{1}}^{\text{imp}}\) (c’est à dire un champ particulier vérifiant cette condition). Cela alourdit les écritures et n’apporte rien, on se place donc dans le cadre homogène \({p}_{{}_{1}}^{\text{imp}}=0\)
Dans [éq A5.1-3] et [éq A5.1-4], on peut donc prendre et \({\pi}_{2}\) quelconque et \({\pi}_{1}\) vérifiant \({\pi}_{1}=0\) sur \(\partial {O}_{d}\) On commence alors à prendre \({\pi}_{1}=0\) et \({\pi}_{2}=0\) sur tout le bord \(\partial \Omega ` et on obtient [:ref:`éq A5.1-1 <éq A5.1-1>\)] et [éq A5.1-2] au sens des distributions. On multiplie alors [éq A5.1-1] par \({\pi}_{1}\) tel que \({\pi}_{1}=0\) sur \(\partial {\Omega}_{d}\) on multiplie [éq A5.1-2] par \({\pi}_{2}\) quelconque, on intègre par partie, on tient compte de [éq A5.1-3] et [éq A5.1-4] et on obtient, en désignant par \(n\) la normale au bord:
\({\int}_{\partial {\Omega}_{d}}{M}_{\text{as}}.n.{\pi}_{2}d\Gamma ={\int}_{\partial {\Omega}_{d}}{M}_{2\text{ext}}{\pi}_{2}d\Gamma ,\phantom{\rule{4em}{0ex}}\forall {\pi}_{2}\)
On en déduit
\(\begin{array}{c}{M}_{\text{as}}.n={M}_{2\text{ext}}\text{sur}\partial {\Omega}_{d}\end{array}\)
Dirichlet \(\mathit{PRE}2\) , Neuman \(\mathit{PRE}1\)
C’est le cas où on impose une valeur à \(\mathit{PRE}2\) et une valeur au flux associé à \(\mathit{PRE}1\) , en ne disant rien sur PRE1 ou en donnant une valeur à FLUN_HYDR1 de FLUX_THM_REP dans AFFE_CHAR_MECA. Appelons \({M}_{{1}_{\text{ext}}}\) cette quantité imposée, qui vaudra \(0\) si rien n’est dit relativement à \(\mathit{PRE}2\) . Nous noterons \({p}_{2}={p}_{{}_{2}}^{\text{imp}}\) la condition imposée sur \(\mathit{PRE}2\) .
Ceci correspond à:
\(\begin{array}{c}{p}_{\text{gz}}={p}_{\text{as}}+{p}_{\text{vp}}={p}_{{}_{\text{gz}}}^{\text{imp}}\\ {p}_{2}^{\text{imp}}={p}_{{}_{\text{gz}}}^{\text{imp}}\end{array}\)
La démonstration est la même qu’au paragraphe précédent et aboutit à:
\(\begin{array}{c}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}).n={M}_{1\text{ext}}\text{sur}\partial {O}_{d}\end{array}\)
A 2 .3 Cas de conditions aux limites faisant intervenir des relations linéaires entre inconnues principales
Code_Aster permet d’introduire comme conditions aux limites des relations entre degrés de liberté, portés par le même nœud ou par des nœuds différents. Cette possibilité est atteinte via le mot clé LIAISON_DDL de la commande AFFE_CHAR_MECA.
Soit \({p}_{{}_{\text{lq}}}^{\text{imp}}\) la valeur que l’on veut imposer à la pression de liquide sur \(\partial {O}_{d}\) . Compte tenu de [éq A5.1-5], et du choix des inconnues principales pour ce comportement, on écrit:
\({p}_{\text{gz}}-{p}_{c}={p}_{2}-{p}_{1}={p}_{{}_{\text{lq}}}^{\text{imp}}\) éq A5.3-1
Les relations linéaires sont traitées dans Aster par introduction de multiplicateurs de Lagrange. Ceci correspond en l’espèce à la formulation suivante:
Trouver \({p}_{1},{p}_{2,}\mu\) tels que:
\(\begin{array}{}-{\int}_{\Omega}(\dot{{m}_{\text{lq}}}+{\dot{m}}_{\text{vp}}){\pi}_{1}d\Omega +{\int}_{\Omega}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}).\nabla {\pi}_{1}d\Omega -{\int}_{\Omega}\dot{{m}_{\text{as}}}{\pi}_{2}d\Omega +{\int}_{\Omega}{M}_{\text{as}}.\nabla {\pi}_{2}d\Omega +\\ +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}{\mu}^{\text{*}}({p}_{2}-{p}_{1}-{p}_{\mathrm{lq}}^{\text{imp}})d\Gamma +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}\mu ({\pi}_{2}-{\pi}_{1}-{p}_{\mathrm{lq}}^{\text{imp}})d\Gamma \forall {\pi}_{1},{\pi}_{2},{\mu}^{\text{*}}\end{array}\) éq A5.3-2
Pour faire la démonstration dans le cadre non homogène, il faudrait introduire un relèvement de la condition \({p}_{2}-{p}_{1}-{p}_{{}_{\text{lq}}}^{\text{imp}}=0\) (C’est à dire des champs particuliers vérifiant cette condition). Cela alourdit les écritures et n’apporte rien, on se place donc dans le cadre homogène \({p}_{{}_{\text{lq}}}^{\text{imp}}=0\) .
On commence alors à prendre \({\pi}_{1}=0\) et \({\pi}_{2}=0\) sur tout le bord \(\partial \Omega\) et on obtient [éq A5.1-1] et [éq A5.1-2] au sens des distributions. On multiplie alors [éq A5.1-1] par \({\pi}_{1}\) quelconque on multiplie [éq A5.1-2] par \({\pi}_{2}\) quelconque, on intègre par partie, on porte les résultats trouvés dans [éq A5.3-2] et on obtient:
\(\begin{array}{}{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}).n.{\pi}_{1}d\Gamma +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}{M}_{\text{as}}.n.{\pi}_{2}d\Gamma +\\ {\int}_{\partial {\Omega}_{d}}{\mu}^{\text{*}}({p}_{2}-{p}_{1})d\Gamma +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}\mu ({\pi}_{2}-{\pi}_{1})d\Gamma =0\forall {\pi}_{1},{\pi}_{2},{\mu}^{\text{*}}\end{array}\) éq A5.3-3
Il est clair que [éq A5.3-3] redonne bien \({p}_{2}-{p}_{1}={p}_{{}_{\text{lq}}}^{\text{imp}}=0\)
En prenant de plus \({\pi}_{2}-{\pi}_{1}=0\) , on trouve:
\({\int}_{\partial {\Omega}_{d}}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}+{M}_{\text{as}}).n.{\pi}_{1}d\Gamma =0\forall {\Gamma}_{1}\)
D’où l’on déduit:
\(\begin{array}{c}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}+{M}_{\text{as}}).n=0\text{sur}\partial {\Omega}_{d}\end{array}\) éq A5.3-4
A2.4 Cas de conditions aux limites mixtes
Nous abordons dans cette section le cas des conditions aux limites mixtes (ou conditions d’échange) appliquées sous forme d’une condition de Neumann. Ces conditions peuvent porter sur l’une ou l’autre des équations de conservation ou bien sur les deux.
L’écriture des flux se fait alors sous la forme:
\(\begin{array}{c}\left({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}\right).n=\phantom{\rule{0.5em}{0ex}}{M}_{1\text{ext}}\text{sur}\partial {\Omega}_{d}\end{array}\) avec \({M}_{1\text{ext}}={\lambda}_{11}({p}_{1}-{p}_{{}_{1}}^{\text{ext}})-{\lambda}_{12}({p}_{2}-{p}_{{}_{2}}^{\text{ext}})\)
et/ou
\(\begin{array}{c}{M}_{\text{as}}.n={M}_{2\text{ext}}\text{sur}\partial {\Omega}_{d}\end{array}\) avec \({M}_{2\text{ext}}={\lambda}_{21}({p}_{1}-{p}_{{}_{1}}^{\text{ext}})-{\lambda}_{22}({p}_{2}-{p}_{{}_{2}}^{\text{ext}})\)
Cette condition est implémentée de manière explicite (la valeur de \(\mathit{PRE1}\) et/ou \(\mathit{PRE2}\) étant prise au temps précédent). Ces conditions mixtes sont donc appliquées comme des conditions de Neumann (cf. précédemment).
A 2 . 5 Les cas non linéaires
Nous ne faisons ici qu’aborder des questions plus difficiles consistant à imposer soit la pression de vapeur soit la pression d’air sec. Compte tenu des relations [éq A5.1-7], [éq A5.1-8] et [éq A5.1-9] imposer une valeur sur la pression de vapeur revient à imposer une relation non linéaire sur la pression de liquide; de même qu’imposer une pression d’air sec sur la pression de gaz.
A titre d’exemple, nous abordons le cas d’un pression d’air sec imposée pour un comportement LIQU_VAPE_GAZ, et nous supposons que nous savons écrire la relation non linéaire reliant la pression de vapeur et la pression de liquide.
La relation à imposer est donc:
\({p}_{\text{as}}={p}_{\text{gz}}-{p}_{\text{vp}}={p}_{2}-{p}_{\text{vp}}={p}_{{}_{\text{as}}}^{\text{imp}}\) éq A5.4-1
En différenciant cette relation, on trouvera une condition sur les variations virtuelles de pressions:
\({\text{dp}}_{\text{as}}={\text{dp}}_{\text{gz}}-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}{\text{dp}}_{\text{lq}}={\text{dp}}_{\text{gz}}-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}({\text{dp}}_{\text{gz}}-{\text{dp}}_{c})\)
Soit encore
\({\text{dp}}_{\text{as}}={\text{dp}}_{2}-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}({\text{dp}}_{2}-{\text{dp}}_{1})=\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}{\text{dp}}_{1}+(1-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}){\text{dp}}_{2}\)
La formulation variationnelle serait alors:
\(\begin{array}{c}-{\int}_{\Omega}\left(\dot{{m}_{\text{lq}}}+{\dot{m}}_{\text{vp}}\right){\pi}_{1}d\Omega +{\int}_{\Omega}\left({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}\right).\nabla {\pi}_{1}d\Omega -{\int}_{\Omega}\dot{{m}_{\text{as}}}{\pi}_{2}d\Omega +{\int}_{\Omega}{M}_{\text{as}}.\nabla {\pi}_{2}d\Omega +\\ +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}{\mu}^{\text{*}}\left({p}_{2}-{p}_{\text{vp}}-{p}_{\mathit{as}}^{\text{imp}}\right)d\Gamma +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}\mu \left(\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}{\pi}_{1}+\left(1-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}\right){\pi}_{2}\right)d\Gamma \phantom{\rule{4em}{0ex}}\forall {\pi}_{1},{\pi}_{2},{\mu}^{\text{*}}\end{array}\) Et on trouverait:
\({\int}_{\partial {\Omega}_{d}}({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}).n.{\pi}_{1}d\Gamma +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}{M}_{\text{as}}.n.{\pi}_{2}d\Gamma +{\int}_{\partial {\Omega}_{d}}\mu (\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}{\pi}_{1}+(1-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}){\pi}_{2})d\Gamma =0\forall {\pi}_{1},{\pi}_{2}\)
En prenant \(\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}{\pi}_{1}+(1-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}){\pi}_{2}=0\) on trouverait:
\(\begin{array}{c}\left(1-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}\right)\left({M}_{\text{lq}}+{M}_{\text{vp}}\right).n-\frac{\partial {p}_{\text{vp}}}{\partial {p}_{\text{lq}}}{M}_{\text{as}}.n=0\end{array}\) éq A5.4-2
Approche numérique pour le calcul des paramètres d’entrée de la loi HYDR_TABBAL
Dans cet annexe, on détaille l’approche numérique utilisée pour calculer les paramètres d’entrée, indispensables à l’utilisation de la loi ’HYDR_TABBAL’ (Voir section 2.5). On rappelle que ces paramètres sont: \({S}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})\) , \({A}_{0}\) , \({\omega}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})\) , \(t(\mathit{HR})\) et \({\left(\frac{\partial \gamma }{\partial {\epsilon}_{s}}\right)|}_{\mu}\) . Il est conseillé à l’utilisateur d’évaluer ces paramètres selon l’ordre présenté ci-dessous :
\({A}_{0}\) est appelée la surface spécifique du matériau par unité de volume (en m²/m³) ouaussi la surface totale des pores par unité de volume.Il existe divers méthodespour estimer la surface spécifique. Parmi lesquelles, les méthodes BET [3]et BJH [4] qui sont des méthodes numériques baséessur des courbesexpérimentales de rétention d’eau. Comme première étape, Il est conseillé à l’utilisateur de calculer la valeur de la surface spécifique \({S}_{\mathit{BET}}\) par la méthode BETselon les équationsA2.1 et A2.2 :
\(\frac{\mathit{HR}}{w\left(\mathit{HR}-1\right)}=\frac{1+\left(C-1\right)\mathit{HR}}{C{w}_{m}}\) éq A2.1
\({S}_{\mathit{BET}}=\frac{{N}_{A}{A}_{m}{V}_{m}}{{V}_{M}}\) éq A2.2
Dans l’équation A2.1, \(w(\mathit{HR})\) est la courbe de rétention d’eau du matériau écrite en terme de teneur en eau. La méthode BET s’applique normalement dans la gamme de \(\mathit{HR}\) situéeentre 5% et 35%. Dans cette gamme, en traçant la courbe \(\frac{\mathit{HR}}{w\left(\mathit{HR}-1\right)}\) fonction de \((\mathit{HR})\) , on obtient une droite. Àpartir de cette dernière, on peut calculer unepente \(\frac{1}{C{w}_{m}}\) et une ordonnéeà l’origine \(\frac{C-1}{C{w}_{m}}\) . Ceci permettrad’évaluer la valeur des paramètres \(C\) et \({w}_{m}\) de l’équation A2.1. Le volume \({V}_{m}\) (en m3/g)de l’équation A2.2, est le volume d’eau correspondant à \({w}_{m}\) . Finalement, \({S}_{\mathit{BET}}\) est calculéeà partir de l’équation A2.2 avec \({N}_{A}\) (=6.022 1023 mol-1)le nombre d’Avogadro, \({A}_{m}\) (=10.6 Å2) la surface occupée par une molécule d’eau et \({V}_{M}\) (=18.10-6 m3/mol) le volume molaire de l’eau.
\({A}_{0}\) est ensuite calculée à partirdu produit de la densité sèche (g/m3) du matériau par la surface spécifique \({S}_{\mathit{BET}}\) (m²/g).
\(t(\mathit{HR})\) est l’épaisseur de la couche d’eau adsorbée. Cette épaisseur peut être évaluée par différentesrelations empiriques qu’on peut trouver dans la littérature. Parmi lesquelles, on cite celle de Badmann [2] qui s’écrit comme: \(t\left(\mathit{HR}\right)={K}_{1}+{K}_{2}\bullet \ln(-\ln\left(\mathit{RH}\right))\) avec \({K}_{1}\) et \({K}_{2}\) des coefficients à recalersur une courbe de rétention d’eau du matériau ( \(t(\mathit{HR})={V}_{w}(\mathit{HR})/{S}_{\mathit{BET}}\) et \({V}_{w}(\mathit{HR})\) le volume d’eau calculé à partir de la courbe de rétention). Pour des matériaux cimentaireset une température ambiante, Badmann calcule \({K}_{1}\) = 0,385 nm et \({K}_{2}\) = -0,189 nm.
Pour les tableaux \({S}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})\) et \({\omega}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})\) , un calcul BJH selon la méthode itérative introduite par Barret,Joyner et Halenda [4] est demandé. Cette méthode est détaillée exhaustivement dans [5].
Comme données d’entrée nécessairespour effectuer le calcul BJH, on cite: la courbe de rétention d’eau du matériau écrite en teneur en eau ou en saturation (fonction de HR), l’épaisseur de la couche adsorbée \(t(\mathit{HR})\) et une valeur de \({A}_{0}\) selon la méthode BET. Il est conseillé avant de procéder par le calcul BJH que la courbe de rétention d’eau soit recalée par un modèle numérique par ex: lemodèle de Van-Genuchten ou autres ou même une simple interpolation linéaire entre les points expérimentaux.
L’utilisateur commence le calcul BJHen estimantle rayon moyendes pores \(\stackrel{´}{{r}_{p,n}}(\mathit{HR})\) qui seront itérativement vidés de leur eau selon le niveau de HR. Ce rayon se calcule selon les équationsA2.3, A2.4 et A2.5avec \({r}_{k}(\mathit{HR})\) calculé selonla loi de Kelvin-Laplace (équation A2.5ou \({\sigma}_{L/G}\) est la tension superficielle de la surface liquide/gas égale à 0,072 N/m).
\(\stackrel{´}{{r}_{p,n}}(\mathit{HR})=\frac{({r}_{p,n}(\mathit{HR})+{r}_{p,n-1}(\mathit{HR}))}{2}\) éq A2.3
\({r}_{p,n}(\mathit{HR})={r}_{k,n}(\mathit{HR})+{t}_{n}(\mathit{HR})\) éq A2.4
\({r}_{k,n}(\mathit{HR})=\frac{-2{\sigma}_{L/G}{M}_{w}^{\mathit{mol}}}{RT{\rho}_{w}\ln(\mathit{HR})}\) éq A2.5
Ensuite, la quantité d’eau désorbée entre deux étapes consécutives n et n-1 est calculé: \(\delta {V}_{w,n}={V}_{w,n}-{V}_{w,n-1}\) avec \({V}_{w,n}\) calculé à partir de la courbe de rétention d’eau pour un niveau de HR.
L’utilisateur passe au calcul du volume \((\delta {V}_{p,n})\) et de la surface \((\delta {a}_{p,n})\) des pores qui seront itérativement vidés avec le niveau de HR. Ceci se fait respectivement par les équations A2.6 et A2.7.
\(\delta {V}_{p,n}={\left(\frac{\stackrel{´}{{r}_{p,n}}}{\stackrel{´}{{r}_{p,n}}-{t}_{n}}\right)}^{2}\bullet [\delta {V}_{w,n}]-\delta {t}_{n}\bullet \sum_{i=1}^{n-1}[\delta {a}_{p,n}\bullet (1-\frac{{t}_{n}}{\stackrel{´}{{r}_{p,n}}})]\) éq A2.6
\(\delta {a}_{p,n}=2\delta {V}_{p,n}/\stackrel{´}{{r}_{p,n}}\) éq A2.7
Finalement, le volume cumulé \(\sum_{i}\delta {V}_{p,i}\) et la surface cumulée \(\sum_{i}\delta {a}_{p,i}\) des pores vidés sont calculés pour chaque niveau de HR. Ces deux grandeurs serviront dans le calcul (équation A2.8 et A2.9) de \({S}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})\) et \({\omega}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})\) . Ces deux grandeurs représentent respectivement la fraction volumique des pores remplis d’eau liquide (saturés) et la fraction surfacique des pores non saturés (remplis par du gaz et une couche d’eau adsorbée):
\({S}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})=1-\sum_{i}\delta {V}_{p,i}/({\varphi}_{0}\bullet {V}_{0})\) éq A2.8
\({\omega}_{\mathit{BJH}}(\mathit{HR})=\sum_{i}\delta {a}_{p,i}/{S}_{\mathit{BET}}\) éq A2.9
Dans l’équation A2.8, \(({\varphi}_{0}\bullet {V}_{0})\) représente le volume total des pores avec \(({\varphi}_{0})\) la porosité du matériau et \(({V}_{0})\) le volume totale de l’échantillon. \({S}_{\mathit{BET}}\) est la surface spécifique du matériau préalablement calculée par BET.
La validité du calcul BJH peut être vérifié, selon [5], en comparant la valeur de \({S}_{\mathit{BET}}\) avec la surface spécifique obtenu par BJH \({S}_{\mathit{tot},\mathit{BJH}}\) (surface cumulée totale des pores vidés). Une différence de moins que 10% est conseilléeentre ces deux grandeurs.
On présente ci-dessous un exemple de script python pour la méthode BJH:
import numpy as np
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# Definition des caracteristiques materiaux
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poro = 0.082 #Porosite
Vt = (3.14*(9**2)/4)*0.3 #Volume total de l’echantillon en cm3
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# Parametres pour la relation deKelvin-Laplace
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massemol = 0.018 #Masse molaire de l’eau
R = 8.314 #Constante des gazs parfaits
T = 293.15 #Temperature en K
rho = 1000. #Masse volumique de l’eau
gamma = 235.8 * (1-0.625*(1-T/647.096))*(1-T/647.096)**(1.256) #Tension superficielle en fonction de la temperature
C = (2.* (gamma *0.001) *massemol)*(10**9)/ (R*T*rho)
rhosec = 2.385 #densite seche du materiau
msec = rhosec*Vt #masse seche du materiau en g
Sbet = 27 #surface specifique (en m2/g)prealablement calcule par BET
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# Courbe de retention d’eau
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path= »/home/…/Inter_lin.txt » #recuperer la courbe experimentale de retention d’eau
HR_meas = tab_col.T[0] #recuperer le tableau des HR testes
HR_meas = HR_meas[::-1]
S_meas = tab_col.T[1] #recuperer le tableau des degrés saturations
S_meas = S_meas[::-1]
w_meas = (S_meas*poro*1)/(rhosec) #calcul de la teneur en eau
n=len(HR_meas)
Facteur_Pc = (rho*R*T/massemol)/(10**6)
Pc = -Facteur_Pc*np.log(HR_meas) #calcul des pressions capillaires selon Kelvin
Pc[0]=0
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# Rayon de Kelvin-Laplace
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Facteur_rk = (massemol*2*(gamma*0.001))/(rho*R*T)
rk = -Facteur_rk*(10**9)/np.log(HR_meas)
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# Epaisseur de la couche adsorbee – Selon Badmann
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K1 = 0.385 #en nm
K2 = -0.189 #en nm
t= K1+K2*np.log(-np.log(HR_meas))#epaisseur en nm
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# Rayon du pore
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r=rk+t #en nm
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# Rayon moyen des pores
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rm = []
rm.append(r[0])
for i in range(1,n):
rm.append((r[i]+r[i-1])/2)
rm=np.asarray(rm) #en nm
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# Contraintes a imposer sur le premier point
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#Pres de HR100% plus deau adsorbee/uniquement eau libre
Sl=[] #Fraction de pores satures (remplis d’eau liquide)
Sl.append(S_meas[0])
Sg=[] #Fraction de pores non satures
Sg.append(1-Sl[0])
SumVP=[] #~Volume cumule des pores non satures en cm3
SumVP.append(poro*Vt*Sg[0])
DeltaVP = [] #Volume des pores non saturesen cm3
DeltaVP.append(SumVP[0])
DeltaVL =[] #Volume de liquide desorbe entre deux HR consecutives
nb=DeltaVP[0]/((rm[0]/(rm[0]-t[0]))**2)
DeltaVL.append(nb)
# ——————————————- #
# Volume de liquide desorbe entre deux HR
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VL = S_meas * poro *Vt #en cm3
for i in range(1,n):
DeltaVL.append(VL[i-1]-VL[i])
# ——————————————- #
# Premiere etape de desorption
# ——————————————- #
DeltaVP.append(((rm[1]/(rm[1]-t[1]))**2)*DeltaVL[1])#Volumedes pores désaturés ente deux HR en cm3
DeltaAP = [] # surface des pores desaturés ente deux HR en m2
DeltaAP.append((2*DeltaVP[0]*(10**-6))/(rm[0]*(10**-9)))
DeltaAP.append ((2*DeltaVP[1]*(10**-6))/(rm[1]*(10**-9)))
DeltaAP_t=[]
DeltaAP_t.append(0)
DeltaAP_t.append(DeltaAP[0]*(1-t[1]/rm[0]))
# ——————————————- #
# Deuxieme a nieme etape de desorption
# ——————————————- #
for i in range(2,n):
j=1
b=0
while j <= i:
b = b+(DeltaAP[i-j]*(1-t[i]/rm[i-j]))
j=j+1
DeltaAP_t.append(b)
a = ((rm[i]/(rm[i]-t[i]))**2)
deltat=t[i-1]-t[i]
DeltaVP.append(a*(DeltaVL[i]-(deltat*(10**-9)*DeltaAP_t[i]*(10**6))))
DeltaAP.append ((2*DeltaVP[i]*(10**-6))/(rm[i]*(10**-9)))
# ——————————————- #
# Volume cumule des pores non satures en cm3
# ——————————————- #
for i in range(2,n+1):
j=1
c=0
while j<=i:
c = c + DeltaVP[i-j]
j=j+1
SumVP.append(c)
# ——————————————- #
# Surface cumulee des pores non satures en m2
# ——————————————- #
SumAP=[]
SumAP.append(DeltaAP[0])
for i in range(2,n+1):
j=1
c=0
while j<=i:
c = c + DeltaAP[i-j]
j=j+1
SumAP.append(c)
SumAP=np.asarray(SumAP)
# ——————————————- #
# Calcul des fractions SBJH et WBJH
# ——————————————- #
Sl=[] #Fraction de pores satures nommé aussi SBJH
Sl.append(S_meas[0])
Sg=[] #Fraction de pores non satures
Sg.append(1-Sl[0])
for i in range(1,n):
Sg.append(SumVP[i]/(poro*Vt)) #Fraction de pores non satures
Sl.append(1-Sg[i]) #Fraction de pores satures nommée aussi SBJH
co=0
for i in Sl:
if i>0:
co=co+1
SBJHT = SumAP[co-1]/(Vt*(10**(-6))) #Surface specifique totale obtenu par BJH en m2/m3
print « S_BJH = », SBJH, »en m2/m3 »
S = (SBJH * Vt*10**-6)/msec
print « S_BJH = »,S, »en m2/g »
Ecart = (S – Sbet)*100/Sbet
print « Ecart avec BET = « ,Ecart, »% » #Verifier que cest moins que 10%
A0 = (Sbet * msec) /(Vt*10-6)**
print « A0= »,A0, »m2/m3 »
wg=SumAP/(Sbet*msec) #Fraction surfacique des pores non saturés nommée aussi SBJH w_bjh
Finalement, \({\left(\frac{\partial \gamma }{\partial {\epsilon}_{s}}\right)|}_{\mu}\) est appelé le terme de Shuttleworth qui est fortement dépendant de l’orientation et de la morphologie de la surface solide. Ce terme est recalé àpartir d’expérience de retrait de séchage. Selon les travaux de G. Tabbal [1],[6], ce terme peut avoir une contribution négligeable au développement des contraintes et donc peut dans certain cas être pris comme nul.