1. Principe de l’élimination#
On cherche à résoudre dans \({ℝ}^{n}\) le problème de minimisation sous contrainte (Pb1) suivant :
\(\underset{u\in {U}_{G}}{\min}(\frac{1}{2}{u}^{T}Ku-{u}^{T}f)\) avec \({U}_{G}=\left\lbrace u\in {ℝ}^{n},{u\mid }_{G}={u}_{0}\right\rbrace\)
où
\({u}_{0}\in {ℝ}^{p}\) est connu (\(1\le p\le n\) )
\(G\) est le sous ensemble de \(N=\lbrace 1,\mathrm{...},n\rbrace\) , de cardinal \(p\) : \(G={g}_{1}\mathrm{...}{g}_{p}\)
\({u\mid }_{G}\) est la projection de \(u\) sur le sous espace engendré par \({\lbrace {u}_{i}\rbrace }_{i\in G}\)
où \({({u}_{i})}_{j}={\delta}_{ij},\forall j\in N\)
\(K\) est une matrice symétrique \(n\times n\) ,
\(f\in {ℝ}^{n}\) est fixé.
La contrainte \({u\mid }_{G}={u}_{0}\) représente des conditions aux limites de type Dirichlet homogène ou non.
Si on note \(L={C}_{N}G\) le complémentaire de \(G\) dans \(N\) , on peut, à l’aide des \({u}_{i}\) définis précédemment, décomposer \({ℝ}^{n}\) en somme directe de \({V}_{G}\) = espace vectoriel engendré par \({\lbrace {u}_{i}\rbrace }_{i\in G}\) et de \({V}_{L}\) = espace vectoriel engendré par \({\lbrace {u}_{i}\rbrace }_{i\in L}\) ;
Dès lors, nous avons \({ℝ}^{n}={V}_{G}\oplus {V}_{L}\)
et l’on note \(u={u}_{G}\oplus {u}_{K}\) où \({u}_{G}={u\mid }_{G}\) et \({u}_{L}={u\mid }_{L}\)
soit encore en notation vectorielle \(u=\left\lbrace \begin{array}{}{u}_{G}\\ {u}_{L}\end{array}\right\rbrace\)
Le problème (Pb1) peut donc s’écrire sous la forme du problème (Pb2) :
\(\lbrace \begin{array}{}\min(\frac{1}{2}{u}_{G}^{T}{K}_{\text{GG}}{u}_{G}+\frac{1}{2}{u}_{L}^{T}{K}_{\text{LL}}{u}_{L}+{u}_{L}^{T}{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{G}-{u}_{L}^{T}{f}_{L}-{u}_{G}^{T}{f}_{G})\\ {u}_{G}\in {V}_{G}\\ {u}_{L}\in {V}_{L}\\ {u}_{G}={u}_{0}\end{array}\)
Ce qui revient à écrire :
\((\text{Pb1})\iff (\text{Pb2})\) \(\lbrace \begin{array}{}\min(\frac{1}{2}{u}_{L}^{T}{K}_{\text{LL}}{u}_{L}+{u}_{L}^{T}{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}-{u}_{L}^{T}{f}_{L})\\ {u}_{L}\in {V}_{L}\\ u={u}_{0}\oplus {u}_{L}\end{array}\)
On a alors éliminé \({u}_{G}\) du problème de minimisation.
Nous allons maintenant rechercher le problème matriciel associé à (Pb3).
On recherche \({u}_{L}\) minimisant
\(\frac{1}{2}{u}_{L}^{T}{K}_{\text{LL}}{u}_{L}+{u}_{L}^{T}{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}-{u}_{L}^{T}{f}_{L}\)
ce qui revient à résoudre le problème matriciel suivant :
\({K}_{\text{LL}}{u}_{L}={F}_{L}-{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}\)
On peut donc écrire :
\((\text{Pb1})\iff (\text{Pb2})\iff (\text{Pb3})\iff \left[\begin{array}{cc}{K}_{\text{LL}}& 0\\ 0& {I}_{G}\end{array}\right]\left[\begin{array}{}{u}_{L}\\ {u}_{G}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{}{f}_{L}-{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}\\ {u}_{0}\end{array}\right]\) , soit \(K'\left[\begin{array}{}{u}_{L}\\ {u}_{G}\end{array}\right]=f'\)