Principe de l'élimination
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On cherche à résoudre dans :math:`{ℝ}^{n}` le problème de minimisation sous contrainte (Pb1) suivant :

:math:`\underset{u\in {U}_{G}}{\min}(\frac{1}{2}{u}^{T}Ku-{u}^{T}f)` avec :math:`{U}_{G}=\left\lbrace u\in {ℝ}^{n},{u\mid }_{G}={u}_{0}\right\rbrace`

où


*   :math:`{u}_{0}\in {ℝ}^{p}` est connu (:math:`1\le p\le n` )


*   :math:`G` est le sous ensemble de :math:`N=\lbrace 1,\mathrm{...},n\rbrace` , de cardinal :math:`p` : :math:`G={g}_{1}\mathrm{...}{g}_{p}`


*   :math:`{u\mid }_{G}` est la projection de :math:`u` sur le sous espace engendré par :math:`{\lbrace {u}_{i}\rbrace }_{i\in G}`


*   où :math:`{({u}_{i})}_{j}={\delta}_{ij},\forall j\in N`


*   :math:`K` est une matrice symétrique :math:`n\times n` ,


*   :math:`f\in {ℝ}^{n}` est fixé.

La contrainte :math:`{u\mid }_{G}={u}_{0}` représente des conditions aux limites de type Dirichlet homogène ou non.

Si on note :math:`L={C}_{N}G` le complémentaire de :math:`G` dans :math:`N` , on peut, à l'aide des :math:`{u}_{i}`  définis précédemment, décomposer :math:`{ℝ}^{n}` en somme directe de :math:`{V}_{G}` = espace vectoriel engendré par :math:`{\lbrace {u}_{i}\rbrace }_{i\in G}` et de :math:`{V}_{L}` = espace vectoriel engendré par :math:`{\lbrace {u}_{i}\rbrace }_{i\in L}` ;

Dès lors, nous avons :math:`{ℝ}^{n}={V}_{G}\oplus {V}_{L}`

et l'on note :math:`u={u}_{G}\oplus {u}_{K}` où :math:`{u}_{G}={u\mid }_{G}` et :math:`{u}_{L}={u\mid }_{L}`

soit encore en notation vectorielle :math:`u=\left\lbrace \begin{array}{}{u}_{G}\\ {u}_{L}\end{array}\right\rbrace`

Le problème (Pb1) peut donc s'écrire sous la forme du problème (Pb2) :

:math:`\lbrace \begin{array}{}\min(\frac{1}{2}{u}_{G}^{T}{K}_{\text{GG}}{u}_{G}+\frac{1}{2}{u}_{L}^{T}{K}_{\text{LL}}{u}_{L}+{u}_{L}^{T}{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{G}-{u}_{L}^{T}{f}_{L}-{u}_{G}^{T}{f}_{G})\\ {u}_{G}\in {V}_{G}\\ {u}_{L}\in {V}_{L}\\ {u}_{G}={u}_{0}\end{array}`

Ce qui revient à écrire :

:math:`(\text{Pb1})\iff (\text{Pb2})` :math:`\lbrace \begin{array}{}\min(\frac{1}{2}{u}_{L}^{T}{K}_{\text{LL}}{u}_{L}+{u}_{L}^{T}{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}-{u}_{L}^{T}{f}_{L})\\ {u}_{L}\in {V}_{L}\\ u={u}_{0}\oplus {u}_{L}\end{array}`

On a alors éliminé :math:`{u}_{G}` du problème de minimisation.

Nous allons maintenant rechercher le problème matriciel associé à (Pb3).

On recherche :math:`{u}_{L}` minimisant

:math:`\frac{1}{2}{u}_{L}^{T}{K}_{\text{LL}}{u}_{L}+{u}_{L}^{T}{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}-{u}_{L}^{T}{f}_{L}`

ce qui revient à résoudre le problème matriciel suivant :

:math:`{K}_{\text{LL}}{u}_{L}={F}_{L}-{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}`

On peut donc écrire :

:math:`(\text{Pb1})\iff (\text{Pb2})\iff (\text{Pb3})\iff \left[\begin{array}{cc}{K}_{\text{LL}}& 0\\ 0& {I}_{G}\end{array}\right]\left[\begin{array}{}{u}_{L}\\ {u}_{G}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{}{f}_{L}-{K}_{\mathrm{LG}}{u}_{0}\\ {u}_{0}\end{array}\right]` , soit :math:`K'\left[\begin{array}{}{u}_{L}\\ {u}_{G}\end{array}\right]=f'`