2. Équations constitutives et hypothèses#

2.1. Hypothèses du modèle de Reissner–Mindlin#

Le modèle de Reissner-Mindlin permet de représenter le comportement mécanique des plaques épaisses, en prenant explicitement en compte les effets de cisaillement transverse. Contrairement au modèle de Kirchhoff-Love, il ne suppose pas que les sections normales à la surface moyenne restent perpendiculaires après déformation.

Pour ce qui suit :

  • le déplacement transverse est noté \(w(x, y)\),

  • les rotations des fibres normales à la surface moyenne sont décrites par un champ vectoriel indépendant \(\bar{\theta}(x, y) = \left(\theta_x (x,y), \theta_y (x, y)\right)\).

L’épaisseur \(t\) de la plaque est supposée petite devant ses dimensions en plan, mais non négligeable, ce qui autorise l’introduction d’une déformation de cisaillement transverse. Celle-ci est définie par :

\[\bar{\gamma} = \nabla w - \bar{\theta},\]

où \(\nabla w = \left( \cfrac{\partial w}{\partial x}, \cfrac{\partial w}{\partial y} \right)\) représente le gradient du déplacement transverse.

2.2. Lois de comportement élastique#

Le comportement élastique du matériau est décrit à l’aide des paramètres classiques :

  • le module d’Young \(E\),

  • le coefficient de Poisson \(\nu\),

  • un facteur de correction du cisaillement \(\kappa\), généralement pris égal à \(\cfrac{5}{6}\) pour les plaques homogènes.

2.2.1. Tenseur de courbure#

Le tenseur de courbure \(\bar{\bar{\kappa}}\) représente les variations spatiales du champ de rotation \(\bar{\theta}\). Il est défini comme la partie symétrique du gradient de \(\bar{\theta}\) :

\[\bar{\bar{\kappa}} = \mathrm{sym}(\nabla \bar{\theta}) = \frac{1}{2} \left( \nabla \bar{\theta} + (\nabla \bar{\theta})^\top \right).\]

2.2.2. Énergie de flexion#

Les contraintes dues à la flexion \(\bar{\bar{M}}\) sont reliés au tenseur de courbure par une loi constitutive linéaire :

\[\bar{\bar{M}} = \mathbb{C} : \bar{\bar{\kappa}},\]

où \(\mathbb{C}\) désigne le tenseur de rigidité en flexion, exprimé par :

\[\mathbb{C} = D \left[ (1 - \nu)\, \mathbb{I}_4 + \nu\, \mathbb{I}_2 \otimes \mathbb{I}_2 \right], \qquad \text{avec} \qquad D = \frac{E t^3}{12(1 - \nu^2)}.\]

Les notations utilisées sont :

  • \(\mathbb{I}_4\) : tenseur identité d’ordre 4,

  • \(\mathbb{I}_2\) : tenseur identité d’ordre 2,

  • \(\otimes\) : produit tensoriel.

L’énergie de flexion correspondante est donnée par :

\[\psi_b = \frac{1}{2} D \left[ (1 - \nu)\, \mathrm{tr}(\bar{\bar{\kappa}}^2) + \nu\, \left( \mathrm{tr}(\bar{\bar{\kappa}}) \right)^2 \right]\]

2.2.3. Énergie de cisaillement transverse#

L’énergie élastique associée au cisaillement transverse s’écrit :

\[\psi_s = \cfrac{E \kappa t}{4(1 + \nu)} \left\| \bar{\gamma}_R \right\|^2,\]

où \(\bar{\gamma}_R\) désigne le champ de cisaillement « réduit », interpolé dans un espace fonctionnel adapté (par exemple de type Nédélec), afin de prévenir le phénomène de verrouillage numérique lors de la discrétisation par éléments finis.