2. Problème continu

La géométrie est définie de façon uni-dimensionnelle par le méridien dans le plan \((Oxy)\) pour une coque de révolution.

2.1. Description de la géométrie, de la cinématique

On considère une coque de révolution d’axe \(\mathit{Oy}\) . Pour cette coque, la surface moyenne est définie par la courbe \(\omega =\text{AB}\) dans le plan \(Oxz\) : \(\omega\) est un méridien pour la coque de révolution.

Figure 2.1-1: Coque de révolution

La courbe \(\omega =\text{AB}\) est paramétrée par l’abscisse curviligne \(s\) . On notera les dérivées partielles \(\frac{\partial A}{\partial s}\) d’une quantité \(A\) par \({A}_{,s}\) . En un point \(m\) de \(\omega\) on définit le repère local \((n,t,{e}_{z})\) par:

(2.1)\[t=\frac{{\text{Om}}_{,s}}{\mathrm{\parallel }{\text{Om}}_{,s}\mathrm{\parallel }}\]

On note aussi l’angle \(\alpha\) tel que:

(2.2)\[n=\cos\alpha {e}_{x}+\sin\alpha {e}_{y}\]

La courbure de \(\omega\) est définie par:

(2.3)\[\frac{1}{R}=-n\cdot {t}_{,s}={\alpha}_{,s}\]

La position sur le parallèle passant par \(m\) est notée \(\theta\) . Le vecteur tangent sur ce parallèle est \({e}_{\theta}\) . Pour le méridien situé dans le plan \(\mathit{Oxz}\) , \(\theta =0\) et \({e}_{\theta}=-{e}_{z}\) . Le rayon de courbure du parallèle en \(m\) est:

(2.4)\[{R}_{\theta}=\frac{r}{\cos\alpha }\]

Où \(r\) est l’abscisse \(x\) du point \(m\) de \(\omega\) . Les transformations cinématiques de la coque sont définies par le déplacement \(U\) du point \(m\) de la surface moyenne, ainsi que par la rotation \({\beta}_{s}\) de la normale \(n\) au point \(m\) . Le vecteur \(U\) peut être exprimé en base locale:

(2.5)\[{U}_{(s)}={U}_{(s)}\cdot {t}_{(s)}+{W}_{(s)}\cdot {n}_{(s)}\]

Ou en base cartésienne:

(2.6)\[{U}_{(s)}={u}_{x}(s)\cdot {e}_{x}+{u}_{y}(s)\cdot {e}_{y}\]

Les déformations de la coque associées à cette transformation \((U,{\beta}_{s})\) sont déterminées par:

• un tenseur de déformation membranaire \(E\) ,

• un tenseur de variation de courbure \(K\) ,

• un vecteur de déformation de distorsion tranverse \(\gamma\) .

Ce dernier apparaît dans la théorie de coques de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI et pas dans celle de LOVE. En fonction du déplacement \(U\) et de la rotation \({\beta}_{s}\) , ces grandeurs s’expriment (cf.[bib1]) dans le cas où \(U\) est exprimé en base locale \((n,t,{e}_{z})\) :

(2.7)\[{E}_{\mathit{ss}}={U}_{,s}+\frac{W}{R} {E}_{\theta \theta }=\frac{1}{r}(-U\sin\alpha +W\cos\alpha ) {K}_{\mathit{ss}}={\beta}_{s,s} {K}_{\theta \theta }=-\frac{\sin\alpha }{r}{\beta}_{s} {\gamma}_{s}={\beta}_{s}+{W}_{,s}-\frac{U}{R}\]

Et pour le cas où \(U\) est exprimé en base globale \(({e}_{x},{e}_{y},{e}_{z})\) :

(2.8)\[{E}_{\mathit{ss}}={u}_{y,s}\cos\alpha -{u}_{x,s}\sin\alpha {E}_{\theta \theta }=\frac{{u}_{x}}{r} {K}_{\mathit{ss}}={\beta}_{s,s} {K}_{\theta \theta }=-\frac{\sin\alpha }{r}{\beta}_{s} {\gamma}_{s}={\beta}_{s}+{u}_{x,s}\cos\alpha +{u}_{y,s}\sin\alpha\]

Remarque:

Le changement de sens de l’abscisse curviligne \(s\) ne modifie pas les valeurs de: \({\beta}_{s}\) \({E}_{\mathit{ss}}\) et \({E}_{\theta \theta }\) mais change le signe de \(\alpha\) , \(U\) , \(W\) , \(R\) , \({K}_{\mathit{ss}}\) et \({K}_{\theta \theta }\) .

Dans le cadre de la théorie de LOVE, la condition \({\gamma}_{s}=0\) (les normales à la coque le restent après déformation) se traduit par une relation directe entre les rotations \({\beta}_{s}\) et la pente \({W}_{,s}\) . Les composantes du tenseur variation de courbure sont en fonction du déplacement dans la base locale:

(2.9)\[{K}_{\mathit{ss}}=-{W}_{,\mathit{ss}}+\frac{{U}_{,s}}{R}-U\frac{{R}_{,s}}{{R}^{2}}\]

Si le déplacement est exprimé en base globale:

\({K}_{\text{ss}}=\frac{1}{R}\left({u}_{x,s}\sin\alpha -{u}_{y,s}\cos\alpha \right)-{u}_{x,\text{ss}}\cos\alpha -{u}_{y,\text{ss}}\sin\alpha\) et \({K}_{\theta \theta }=\frac{\sin\alpha }{r}({u}_{x,s}\cos\alpha +{u}_{y,s}\sin\alpha )\)

On remarque que l’expression des variations de courbure en fonction du déplacement en théorie de LOVE est assez compliquée et qu’elle fait intervenir des dérivées secondes. Si on exige une interpolation conforme c’est-à-dire ici \({C}^{1}\) , ceci nécessite l’emploi d’éléments finis de degré élevé.

Les tenseurs \(E\) , \(K\) et \(\gamma\) permettent d’exprimer la déformation tridimensionnelle \(\varepsilon\) dans l’épaisseur. On désigne par \({x}_{3}\) la position dans l’épaisseur \(\left]-\frac{h}{2},\frac{h}{2}\right[\) par rapport à la fibre moyenne, au point \(m\) , d’abscisse curviligne \(s\) sur \(\omega\) .

En un point de l’épaisseur, le déplacement s’exprime en repère global:

(2.10)\[U(s,{x}_{3})=({u}_{x}(s)-{\beta}_{s}(s).{x}_{3}\sin\alpha (s)).{e}_{x}+({u}_{y}(s)+{\beta}_{s}(s).{x}_{3}\cos\alpha (s)).{e}_{y}\]

Afin de tenir compte de la variation de métrique dans l’épaisseur (due à la courbure de la surface moyenne), on définit les fonctions:

(2.11)\[{\rho}_{s}\left({x}_{3}\right)=1+\frac{{x}_{3}}{R}\]

Pour une coque suffisamment mince, cette correction est négligeable:

(2.12)\[{\rho}_{s}\approx 1\]

En pratique cette correction effectuée si MODI_METRIQUE=’OUI’ dans AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01] est inutile si les rapports \(\frac{h}{R}\) et \(\frac{h}{{R}_{\theta}}\) , quand ils existent, sont inférieurs à \(\frac{1}{15}\) .

En théorie de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI, les composantes du tenseur de déformation \(\varepsilon\) sont:

(2.13)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}{\epsilon}_{\text{ss}}\left(s,{x}_{3}\right)=\frac{1}{{\rho}_{s}}\left({E}_{\text{ss}}+{x}_{3}{K}_{\text{ss}}\right)\\ {\epsilon}_{\theta \theta }\left(s,{x}_{3}\right)=\frac{1}{{\rho}_{\theta}}\left({E}_{\theta \theta }+{x}_{3}{K}_{\theta \theta }\right)\\ {\epsilon}_{{\text{sx}}_{3}}\left(s,{x}_{3}\right)=\frac{1}{2{\rho}_{s}}{\gamma}_{s}\end{array}\end{split}\]

2.2. Équilibre thermo-élasto-plastique

On considère que le matériau constitutif de la coque est thermo-élasto-plastique isotrope. On fait l’hypothèse couramment admise que la contrainte normale transverse est nulle \({\sigma}_{{x}_{3}{x}_{3}}\mathrm{\equiv }0\) . La loi de comportement la plus générale s’écrit alors:

(2.14)\[\begin{split}(\begin{array}{c}{s}_{11}\\ {s}_{22}\\ {s}_{{\mathrm{1x}}_{3}}\end{array})=(\begin{array}{ccc}{C}_{1111}& {C}_{1122}& 0\\ {C}_{2211}& {C}_{2222}& 0\\ 0& 0& {C}_{11{x}_{3}{x}_{3}}\end{array})(\begin{array}{c}{\varepsilon}_{11}-{\varepsilon}_{11}^{\text{th}}\\ {\varepsilon}_{22}-{\varepsilon}_{22}^{\text{th}}\\ {\varepsilon}_{{\mathrm{1x}}_{3}}\end{array})\end{split}\]

Où \(C(\varepsilon ,\mu )\) de composantes \({C}_{ijkl}\) est la matrice de comportement locale en contraintes planes et \(\mu\) représente l’ensemble des variables internes lorsque le comportement est non-linéaire. Dans la suite l’indice \(1\) fait référence à l’abscisse curviligne \(s\) et \(2\) à \(\theta\) . Aux déformations tridimensionnelles définies ci-dessus, on associe alors les composantes du tenseur contraintes \(\sigma\) :

(2.15)\[\begin{split}\lbrace \begin{array}{c}{\sigma}_{\text{ss}}={C}_{\text{ssss}}({\varepsilon}_{\text{ss}}-{\varepsilon}_{\text{ss}}^{\text{th}})+{C}_{\text{ss}\theta \theta }({\varepsilon}_{\theta \theta }-{\varepsilon}_{\theta \theta }^{\text{th}})\\ {\sigma}_{\theta \theta }={C}_{\theta \theta \text{ss}}({\varepsilon}_{\text{ss}}-{\varepsilon}_{\text{ss}}^{\text{th}})+{C}_{\theta \theta \theta \theta }({\varepsilon}_{\theta \theta }-{\varepsilon}_{\theta \theta }^{\text{th}})\\ {\sigma}_{{\text{sx}}_{3}}=\text{}{C}_{{\text{ssx}}_{3}{x}_{3}}{\varepsilon}_{{\text{sx}}_{3}}\end{array}\end{split}\]

On en tire l’expression de l’énergie élastique de déformation, dont on déduira la matrice de rigidité en fonction de la cinématique de coque vue au paragraphe [§ 2.1 ]:

(2.16)\[\begin{split}{W}^{\text{él}}=\frac{1}{2}{\int}_{\omega}{\int}_{0}^{2\pi }{\int}_{-h/2}^{h/2}\left[\begin{array}{c}{C}_{\mathit{ssss}}{\epsilon}_{\mathit{ss}}^{2}+\\ {C}_{\theta \theta \theta \theta }{\epsilon}_{\theta \theta }^{2}+\\ ({C}_{\theta \theta }+{C}_{\theta \theta \mathit{ss}}){\epsilon}_{\mathit{ss}}{\epsilon}_{\theta \theta }+\\ {\mathrm{2C}}_{{\mathit{ssx}}_{3}{x}_{3}}{\epsilon}_{{\mathit{sx}}_{3}^{2}}\end{array}\right]\left({\rho}_{s}+{\rho}_{\theta}-1\right)r\mathit{ds}d\theta {\mathit{dx}}_{3}\end{split}\]

Remarque:

En thermoélasticité, si on note \(E\) le module d’YOUNG et \(\nu\) le coefficient de POISSON, on a \({C}_{\text{iiii}}=\frac{E}{1-{\nu}^{2}}\) , \({C}_{\text{iijj}}=\frac{E\nu }{1-{\nu}^{2}}\forall (i,j)\in \left\lbrace 1,2\right\rbrace\) et \({C}_{11{x}_{3}{x}_{3}}=\frac{E}{1+\nu }\)

On définit les grandeurs suivantes:

• la rigidité membranaire:

(2.17)\[\begin{split}\left[{C}_{ij}\right]={\int}_{-h/2}^{h/2}\frac{{\rho}_{s}+{\rho}_{\theta}-1}{{\rho}_{i}{\rho}_{j}}.\text{}\left[\begin{array}{cc}{C}_{\text{ssss}}& {C}_{\text{ss}\theta \theta }\\ {C}_{\theta \theta \text{ss}}& {C}_{\theta \theta \theta \theta }\end{array}\right]{\text{dx}}_{3}\end{split}\]

qui vaut \(\frac{\text{Eh}}{1-{\nu}^{2}}\left[\begin{array}{cc}1& \nu \\ \nu & 1\end{array}\right]\) en élasticité et en absence de correction de métrique dans l’épaisseur ;

• la rigidité de couplage membrane-flexion:

(2.18)\[\begin{split}\left[{B}_{ij}\right]={\int}_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}{x}_{3}.\frac{{\rho}_{s}+{\rho}_{q}-1}{{\rho}_{i}{\rho}_{j}}.\text{}\left[\begin{array}{cc}{C}_{\text{ssss}}& {C}_{\text{ss}\theta \theta }\\ {C}_{\theta \theta \text{ss}}& {C}_{\theta \theta \theta \theta }\end{array}\right]{\text{dx}}_{3}\end{split}\]

qui est nulle en élasticité et en absence de correction de métrique dans l’épaisseur ;

• la rigidité de flexion:

(2.19)\[\begin{split}\left[{D}_{ij}\right]={\int}_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}{x}_{3}^{2}.\frac{{\rho}_{s}+{\rho}_{\theta}-1}{{\rho}_{i}{\rho}_{j}}.\left[\begin{array}{cc}{C}_{\text{ssss}}& {C}_{\text{ss}\theta \theta }\\ {C}_{\theta \theta \text{ss}}& {C}_{\theta \theta \theta \theta }\end{array}\right]{\text{dx}}_{3}\end{split}\]

qui vaut \(\frac{{\text{Eh}}^{3}}{12(1-{\nu}^{2})}\left[\begin{array}{cc}1& \nu \\ \nu & 1\end{array}\right]\) en élasticité et en absence de correction de métrique dans l’épaisseur;

• la rigidité de distorsion transverse:

(2.20)\[{G}_{{\text{sx}}_{3}}={\int}_{-\frac{h}{2}}^{\frac{h}{2}}\text{}\frac{{\rho}_{s}+{\rho}_{\theta}-1}{{\rho}_{s}^{2}}.{C}_{{\text{ssx}}_{3}{x}_{3}}{\text{dx}}_{3}\]

qui vaut \(\frac{\text{Eh}}{1+\nu }\) en élasticité et en absence de correction de métrique dans l’épaisseur.

En élasticité, les coefficients \({C}_{\mathit{ss}}^{C}\) , \({B}_{\mathit{ss}}^{C}\) et \({D}_{\mathit{ss}}^{C}\) sont les produits des coefficients \({C}_{\mathit{ss}}^{D}\) , \({B}_{\mathit{ss}}^{D}\) et \({D}_{\mathit{ss}}^{D}\) par \(1-{\nu}^{2}\) . On peut ainsi exprimer l’énergie élastique en fonction des tenseurs de déformations de coque \(E\) , \(K\) et \(\gamma\) par:

(2.21)\[\begin{split}\begin{array}{c}{W}^{\text{él}}=\frac{1}{2}{\int}_{\omega}^{}{\int}_{0}^{2\pi }[{C}_{\text{ss}}{E}_{\text{ss}}^{2}+{\mathrm{2B}}_{\text{ss}}{E}_{\text{ss}}{K}_{\text{ss}}+{D}_{\text{ss}}{K}_{\text{ss}}^{2}+{C}_{\theta \theta }{E}_{\theta \theta }^{2}+{\mathrm{2B}}_{\theta \theta }{E}_{\theta \theta }{K}_{\theta \theta }+{D}_{\text{qq}}{K}_{\theta \theta }^{2}\\ \text{}+2\left({C}_{s\theta }{E}_{\text{ss}}{E}_{\theta \theta }+{B}_{s\theta }({E}_{\text{ss}}{K}_{\theta \theta }+{E}_{\theta \theta }{K}_{\text{ss}})+{D}_{s\theta }{K}_{\text{ss}}.{K}_{\theta \theta }\right)\\ \text{}\text{}+\frac{{G}_{{\text{sx}}_{3}}}{2}{\gamma}_{s}^{2}]r.\text{ds}.d\theta \end{array}\end{split}\]

A ces expressions, il faut ajouter le potentiel associé aux contraintes thermiques, qui sera une contribution au second membre (que l’on exprimera ci-dessous en repère global):

(2.22)\[{L}_{(V)}^{\text{th}}={\int}_{\omega}{\int}_{0}^{2\pi }{\int}_{-h/2}^{h/2}\left[\alpha (T-{T}^{\text{réf}})(({C}_{\text{ssss}}+{C}_{\text{ss}\theta \theta }){\varepsilon}_{\text{ss}}+({C}_{\theta \theta \text{ss}}+{C}_{\theta \theta \theta \theta }){\varepsilon}_{\theta \theta })\right]rd\theta {\text{dx}}_{3}\text{ds}\]

Cette expression pour un comportement élastique isotrope devient:

(2.23)\[{L}_{(V)}^{\text{th}}={\int}_{\omega}{\int}_{0}^{2\pi }{\int}_{-h/2}^{h/2}\left[\frac{E\alpha }{1-\nu }(T-{T}^{\text{réf}})(\frac{{v}_{x}}{r}-{v}_{x,s}\sin\alpha +{v}_{y,s}\cos\alpha +{x}_{3}({\beta}_{s,s}-\frac{\sin\alpha }{r}{\beta}_{s}))\right]rd\theta {\text{dx}}_{3}\text{ds}\]

Dans cette expression, on a délibérément négligé la correction de métrique dans l’épaisseur (termes en \({\rho}_{s}\) et \({\rho}_{\theta}\) vus pour la rigidité). De plus la température \(T\) qui apparaît est définie par le modèle de coque thermique à trois champs (cf. [R3.11.01]):

(2.24)\[T(s,{x}_{3})={T}^{m}(s).(1-{(\frac{{x}_{3}}{h})}^{2})+{T}^{s}(s)\frac{{x}_{3}}{\mathrm{2h}}(1+\frac{{x}_{3}}{h})+{T}^{i}(s)\frac{{x}_{3}}{\mathrm{2h}}(-1+\frac{{x}_{3}}{h})\]

A partir de cette expression, on déduit les tenseurs d’efforts généralisés \(N\) et \(M\) (efforts normaux et moments de flexion) associés aux déformations généralisées \(E\) et \(K\) par le principe des travaux virtuels. Ils sont liés au tenseur des contraintes \({\tau}_{\alpha \beta }\) tridimensionnelles par:

(2.25)\[{N}_{\alpha \beta }={\int}_{-h/2}^{h/2}{\tau}_{\alpha \beta }{\text{dx}}_{3}\]

Où l’on a négligé les variations de métrique dans l’épaisseur.

Remarque:

Énergie de cisaillement transverse

Le modèle de coque présenté ci-dessus, dit de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI, repose sur une hypothèse cinématique: les paramètres \(W\) et \({\beta}_{s}\) désignent le déplacement normal du point \(m\) de la surface moyenne \(\omega\) et la rotation du vecteur normal \(n\) .

On trouve aussi fréquemment le modèle dit de REISSNER qui repose sur une hypothèse statique de la répartition des contraintes de cisaillement transverse. Les paramètres cinématiques déduits \(W\) et \({\beta}_{S}\) dans ce modèle sont des moyennes pondérées dans l’épaisseur du déplacement normal et des rotations locales. Si l’on désire se placer dans ce cadre, il suffit d’affecter le coefficient \(\kappa =5/6\) au terme d’énergie de cisaillement transverse (en \({\gamma}_{s}^{2}\) ). (cf. [bib7], [bib9]).

Enfin, si l’on veut, pour une coque mince, se situer dans le cadre du modèle de LOVE‑KIRCHHOFF, on peut neutraliser l’énergie de cisaillement avec une grande valeur de \(\kappa\) (qui pénalise la condition \({\gamma}_{s}=0\) ), par exemple \({10}^{6}h/R\) , où \(h\) est l’épaisseur et \(R\) un rayon de courbure caractéristique ou une distance caractéristique des chargements: (cf.[bib 2]). En pratique l’utilisateur peut renseigner la valeur de \(\kappa\) sous le mot-clé A_CISde la commande AFFE_CARA_ELEM [U4.42.01].