4. Conclusion

Les éléments finis que nous proposons ont été choisis dans un but bien particulier: calcul de structures minces axisymétriques avec le souci d’obtenir une bonne précision sur la solution membranaire et flexionnelle tout en ayant un élément simple d’implantation et pas trop coûteux.

Le choix des degrés de liberté permet une bonne représentation des conditions aux limites. De plus, cette formulation déplacement et rotation conduit à des éléments de degré plus faible: les éléments sont \(\mathit{P2}\) en membrane et \(\mathit{P2}\) en flexion. Il apparaît qu’ils sont aisés à manipuler et que leur formulation permet d’utiliser une structure de pré et post processeur simple, avantage non négligeable pour effectuer des maillages assez fins (unidimensionnels) et pour visualiser facilement les résultats (sur une simple courbe). La cinématique choisie: formulation de HENCKY-MINDLIN-NAGHDI, en déplacements et rotations de la surface moyenne permet de faire intervenir l’énergie de cisaillement transverse (intéressante pour les coques d’épaisseur moyenne).

Cette énergie peut être affectée d’un facteur de correction \(k\) : si l’on veut se placer en théorie de REISSNER, il suffit de choisir \(k=5/6\) au lieu de 1 (mais bien sûr, la flèche \(W\) et les rotations \(\beta\) ne sont dans cette théorie que des moyennes pondérées dans l’épaisseur). De plus, la formulation de coque de LOVE-KIRCHHOFF (pour les structures très minces) peut être simulée par pénalisation de la condition de nullité de la distorsion transverse, en choisissant un facteur \(k={10}^{6}\times ` , :math:`h\) étant l’épaisseur et \(L\) une distance caractéristique (rayon de courbure, zone d’application des charges…).

Les comportements non-linéaires en contraintes planes sont disponibles pour ces éléments. On signale cependant que les contraintes générées par la distorsion transverse sont traitées élastiquement, faute de mieux. En effet, la prise en compte d’un cisaillement transverse constant non nul sur l’épaisseur et la détermination de la correction associée sur la rigidité de cisaillement par rapport à un modèle satisfaisant les conditions aux limites ne sont pas possibles et rendent donc l’utilisation de ces éléments, lorsque le cisaillement transverse est non nul, rigoureusement impossible en plasticité. En toute rigueur, pour des comportements non linéaires, il faudrait donc utiliser ces éléments dans le cadre de la théorie de Love-Kirchhoff.

Des éléments correspondant aux éléments mécaniques existent en thermique; les chaînages thermomécaniques sont donc disponibles avec des éléments finis de coques thermiques à trois nœuds décrits en [R3.11.01] dans sa version axisymétrique.

Dans les cas-test traités, les phénomènes de blocage ne sont pas apparus. La décomposition de l’énergie de déformation permettra, en cas de besoin, d’intégrer de façon sélective les termes responsables du blocage, une telle modification ne devant pas poser de difficultés particulières. Une étude plus détaillée doit bien sûr être menée sur ce sujet, quant aux méthodes numériques à utiliser pour éviter ce blocage quand l’épaisseur devient faible.

Les développements envisageables sont:

• l’anisotropie afin de pouvoir traiter les coques multicouches,

• les problèmes de flambement,

• la décomposition en séries de FOURIER pour étudier des problèmes non axisymétriques de coques de révolution,

• la prise en compte d’une épaisseur variable …