1. Introduction#
Les méthodes HHO sont développées depuis quelques années par Di Pietro, Ern et leurs collaborateurs. Les premiers travaux portent sur les problèmes de la diffusion linéaire [2] et de l’élasticité linéaire [3]. Depuis, les méthodes HHO ont été étendues à des physiques différentes pour traiter des problèmes aussi bien linéaires que non-linéaires (voir [1] pour les références qui suivent). Une introduction complète et une revue des application est donnée dans [9] Pour les problèmes linéaires, nous pouvons citer les travaux sur le problème de Stokes, sur la diffusion linéaire à coefficients variables, sur l’advection-diffusion-réaction, sur le problème de Cahn-Hilliard, et sur les écoulements en milieux poreux fracturés. L’utilisation de maillages courbes est considérée pour le problème de la diffusion linéaire. Pour les problèmes non-linéaires, nous pouvons citer les travaux sur le problème de Leray-Lions, sur les équations de Navier-Stokes stationnaires, sur les problèmes spectraux, et sur les fluides de Bingham. En ce qui concerne plus particulièrement la mécanique des solides, il y a eu l’extension au problème de l’élasticité non-linéaire en petites déformations, au problème de Biot, aux équations des plaques de Kirchhoff–Love, et les travaux réalisés dans [1] sur l’hyperélasticité en grandes déformations [4], la plasticité en petites [5] et grandes [6] déformations et le contact unilatéral avec frottement de Tresca. D’un point de vue numérique, un intérêt particulier a été porté à l’implémentation de ces méthodes de manière générique de façon à inclure les maillages polyédriques en dimension quelconque.
Les méthodes HHO sont des méthodes non-conformes comme les méthodes de type Galerkin discontinu (dG), mais contrairement à ces dernières, elles sont formulées en termes d’inconnues de faces (portées par le squelette du maillage). Des inconnues dans les cellules sont aussi ajoutées pour des propriétés de stabilité et d’approximation (d’où le terme Hybrid). Ces inconnues de cellules peuvent être éliminées localement par condensation statique (ou complément de Schur). Le terme High-Order vient du fait que les méthodes HHO permettent de faire de l’ordre bas comme de l’ordre élevé sans modification de la méthode. La construction des méthodes HHO repose sur deux idées:
la reconstruction locale d’un gradient ou d’un potentiel à partir des inconnues de la cellule et des inconnues des faces en « mimant » une intégration par parties;
un opérateur de stabilisation locale afin d’imposer faiblement sur chaque face de la cellule la consistance entre les inconnues de la face et la trace des inconnues de la cellule.
Les méthodes HHO présentent de nombreux avantages:
ordre d’approximation arbitraire ( \(k \geq 0\) pour la diffusion linéaire et \(k \geq 1\) pour l’élasticité linéaire);
utilisation de maillages polyédriques avec des interfaces possiblement non-conformes (voir pour des exemples de maillages polyédriques);
robustesse vis à vis des paramètres physiques (incompressibilité élastique, advection dominante…);
coûts numériques attractifs grâce à la condensation statique qui permet d’éliminer les inconnues portées par les cellules tout en maintenant un stencil compact;
conservation locale des flux sur chaque face du maillage.
Fig. 1.1 Exemples de maillages polyédriques supportés par les méthodes HHO.#
Le point (3) est particulièrement pertinent dans le contexte de ce manuscrit, où nous nous intéressons aux problèmes de la mécanique des solides car les méthodes HHO vont nous permettre d’utiliser une formulation purement primale (sans ajout de multiplicateurs de Lagrange contrairement aux formulations mixtes) afin d’éliminer le verrouillage numérique issu de l’incompressibilité qui est habituellement présent pour les méthodes \(H^1\)-conformes. Quand au point (2), une motivation est de pouvoir réaliser un raffinement local du maillage sans devoir se préoccuper de l’éventuelle présence de noeuds orphelins comme dans les méthodes \(H^1\)-conformes. En effet, comme illustré dans cette figure, la présence des noeuds orphelins est gérée simplement en traitant la maille correspondante comme un polygone (ou un polyèdre).
Fig. 1.2 Exemple de raffinement local traité par les méthodes HHO (milieu) et par les méthodes \(H^1\)-conformes (droite) en partant d’un même maillage initial (gauche).#
Les méthodes HHO présentent des connections plus ou moins étroites avec d’autres méthodes numériques développées ces dernières années. Pour les méthodes d’ordre bas, il existe des liens avec les méthodes volumes finis Hybrid Finite Volumes et Mixed Finite Volumes, avec les méthodes Mimetic Finite Differences (voir [8] pour un cadre unfié des trois méthodes précédentes), ainsi qu’avec les méthodes Compatible Discrete Operator et les Gradient Schemes. Pour les méthodes d’ordre supérieur, une connexion a été établie entre les méthodes HHO, Hybridizable Discontinuous Galerkin (HDG) et nonconforming Virtual Element Methods (ncVEM). Les principales similitudes et différences entre les méthodes HHO, HDG, et ncVEM sont:
la reconstruction des opérateurs discrets pour HHO remplace les équations de flux pour HDG et ces opérateurs jouent le même rôle que les opérateurs de projection utilisés par ncVEM;
les opérateurs de stabilisation pour HHO et HDG sont définis d’un point de vue fonctionnel (et sont différents dans le cas où les inconnues de cellule ont le même degré que les inconnues de face) alors que pour ncVEM, ces opérateurs sont définis d’un point de vue algébrique tout en conduisant à des formes quadratiques équivalentes à HHO.