2. Description de la méthode

2.1. Cas de l’élasticité linéaire

Nous allons présenter dans cette section les méthodes Hybrid High-Order (HHO) par l’intermédiaire du problème de l’élasticité linéaire. Le but est de décrire les grands principes de construction des méthodes HHO. Par simplicité, nous supposons que le domaine \(\Omega_{0}\subset \mathbb{R}^{d}\), avec \(2\le d\le 3\), est un domaine polyédrique borné, connexe et avec un bord Lipschitzien \(\Gamma =\partial \Omega_{0}\). Le domaine \(\Omega_{0}\) se déforme sous l’action d’un chargement volumique \(f \in {L}^{2}(\Omega_0;\mathbb{R}^{d})\) et des conditions de type Dirichlet homogène sont imposées sur le bord \(\Gamma\) (pour simplifier). La formulation faible du problème est:

(2.1)\[ \begin{align}\begin{aligned}& \text{Trouver } u \in {H}_{0}^{1}(\Omega_0;\mathbb{R}^{d}) \text{ tel que:}\\& 2\mu{(\nabla^{s}u,\nabla^{s}v)}_{{L}^{2}(\Omega_{0})}+\lambda{(\nabla \cdot u,\nabla \cdot v)}_{{L}^{2}(\Omega_{0})}={(f,v)}_{{L}^{2}(\Omega_{0})}, \: \forall v \in {H}_{0}^{1}(\Omega_{0};\mathbb{R}^{d})\end{aligned}\end{align} \]

où \({H}_{0}^{1}(\Omega_0;\mathbb{R}^{d})=\lbrace v \in {H}^{1}(\Omega_0;\mathbb{R}^{d}) : v=0 \text{ sur } \Gamma \rbrace\) et \(\mu>0\) et \(\lambda\ge 0\) sont les paramètres de Lamé du matériau. De plus, \(\nabla^{s}\) désigne la partie symétrique de l’opérateur gradient et \(\nabla \cdot\) l’opérateur divergence.

2.2. Cadre discret

2.2.1. Maillage

Nous considérons une famille de maillages \({(\mathcal{T}_{h})}_{h>0}\), où pour chaque \(h>0\), le maillage \(\mathcal{T}_{h}\) est composé de polyèdres ouverts, disjoints non-vides, qui ont des faces planes, et tels que \({\overline\Omega}_{0}={\cup}_{T \in \mathcal{T}_{h}}\overline{T}\). La taille globale du maillage est décrite par le paramètre \(h=\max_{T \in \mathcal{T}_{h}}{h}_{T}\), où \({h}_{T}\) est le diamètre de la cellule \(T\). Un sous-ensemble fermé \(F\) de \({\overline\Omega}_{0}\) est appelé une face si c’est un sous-ensemble ayant un intérieur relatif non-vide contenu dans un hyperplan affine \({H}_{F}\) et si:

• soit il existe deux cellules distinctes \({T}_{1},{T}_{2} \in \mathcal{T}_{h}\) telles que \(F=\partial {T}_{1}\cap \partial {T}_{2}\cap {H}_{F}\) (et \(F\) est alors appelée une interface)

• soit il existe une cellule \(T \in \mathcal{T}_{h}\) telle que \(F=\partial T\cap \Gamma \cap {H}_{F}\) (et \(F\) est alors appelée une face de bord).

Les faces du maillage sont réunies dans l’ensemble \(\mathcal{F}_{h}\) qui est ainsi partitionné en deux sous-ensembles, \(\mathcal{F}_{h}^{i}\) l’ensemble des interfaces et \(\mathcal{F}_{h}^{b}\) l’ensemble des faces de bord. Pour tout \(T \in \mathcal{T}_{h}\), \({F}_{T}\) désigne l’ensemble des faces du maillage qui sont incluses dans \(\partial T\) et \({n}_{T}\) la normale sortante unitaire à la cellule \(T\). Nous supposons dans la suite que la famille de maillages \({(\mathcal{T}_{h})}_{h>0}\) est régulière au sens spécifié dans [3], c’est-à-dire pour tout \(h>0\), il existe un sous-maillage conforme de \(\mathcal{T}_{h}\) composé de simplexes qui appartient à une famille régulière de maillages simpliciaux dans le sens habituel de Ciarlet et tel que chaque cellule \(T \in \mathcal{T}_{h}\) du maillage (respectivement, chaque face \(F \in \mathcal{F}_{h}\)) peut être décomposée en un nombre uniformément borné de sous-cellules (respectivement, sous-faces) qui appartiennent à seulement une cellule du maillage (respectivement, à seulement une face ou à l’intérieur d’une cellule) avec un diamètre uniformément comparable.

2.2.2. Approximation

Soit \(k\ge 1\) un degré polynomial fixé. Dans chaque cellule \(T \in \mathcal{T}_{h}\) du maillage, les inconnues HHO locales sont la paire \(({v}_{T},{v}_{\partial T})\), où l’inconnue de cellule \({v}_{T} \in \mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}^{d})\) est un polynôme à valeurs vectorielles à \(d\)-variables de degré au plus \(k\) dans la cellule \(T\), et \({v}_{\partial T} \in \mathbb{P}_{d-1}^{k}({F}_{T};\mathbb{R}^{d}) := {\prod}_{F \in {F}_{T}}\mathbb{P}_{d-1}^{k}(F;\mathbb{R}^{d})\) est un polynôme à valeurs vectorielles défini par morceaux à \((d-1)\)-variables de degré au plus \(k\) sur chaque face \(F \in {F}_{T}\) de la cellule \(T\). Nous écrivons de manière plus concise dans la suite que:

(2.2)\[{\widehat{v}}_{T} := ({v}_{T},{v}_{\partial T}) \in {U}_{T}^{k} := \mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}^{d})\times \mathbb{P}_{d-1}^{k}({F}_{T};\mathbb{R}^{d})\]

Les degrés de liberté sont illustrés dans cette représentation, où un point représente un degré de liberté (mais pas forcément un point physique d’évaluation) et la forme géométrique de la cellule est uniquement illustrative. Les degrés de liberté n’ont pas de sens physique a priori et d’un point de vue algébrique, ils correspondent simplement aux coefficients dans une base polynomiale.

Fig. 2.1 Cellule pentagonale : degrés de liberté de la cellule (bleu) et des faces (vert) pour différentes valeurs de l’ordre d’approximation \(k=\lbrace 1,2,3\rbrace\) dans le cas bidimensionnel.

L’espace \({U}_{T}^{k}\) est muni de la semi-norme discrète locale suivante:

(2.3)\[\vert{ \widehat{v}}_{T}\vert_{1,T}^{2} := {\Vert \nabla^{s}{v}_{T}\Vert }_{{L}^{2}(T)}^{2}+{\Vert {\gamma}_{\partial T}^{\frac{1}{2}}({v}_{T}-{v}_{\partial T})\Vert }_{{L}^{2}(\partial T)}^{2}\]

avec la fonction constante par morceaux \({\gamma}_{\partial T\mid F}\) telle que:

(2.4)\[{\gamma}_{\partial T\mid F}={h}_{F}^{-1}, \: \forall F \in {F}_{T}\]

où \({h}_{F}\) est le diamètre de \(F\). Nous introduisons également l’espace \(\mathrm{RM}(T)\) des mouvements de corps rigide sur \(T\) tel que:

(2.5)\[\textrm{RM}(T) := \lbrace v : T\to \mathbb{R}^{d} \, \mid \, v(x)=c+\omega x,\text{ où } c \in \mathbb{R}^{d} \text{ et } \omega \in {\mathrm{SO}}^{d}\rbrace\]

où \({\mathrm{SO}}^{d}\) est l’ensemble des matrices de rotation dans l’espace euclidien réel. Notons que \(\nabla^{s}=0\) est équivalent à \(v \in \mathrm{RM}(T)\) et que \(\mathbb{P}_{d}^{0}(T;\mathbb{R}^{d})\subset \mathrm{RM}(T)\subset \mathbb{P}_{d}^{1}(T;\mathbb{R}^{d})\).

Lemme 1

Pour tout \({\widehat{v}}_{T} \in {U}_{T}^{k}\), on a \(\vert{\widehat{v}}_{T}\vert{}_{1,T}=0\) si et seulement si \({v}_{T}\) est un mouvement de corps rigide et que \({v}_{\partial T}\) est la trace de \({v}_{T}\) sur \(\partial T\).

Preuve:

Remarquons que \(\vert {\widehat{v}}_{T} \vert {}_{1,T}=0\) équivaut à:

\[\nabla^{s}{v}_{T}=0 \text{ et } {v}_{T}-{v}_{\partial T}=0\]

Nous en déduisons que \({v}_{T}\) est un mouvement de corps rigide car \(\nabla^{s}{v}_{T}=0\) et que \({v}_{\partial T}\) est la trace de \({v}_{T}\) sur \(\partial T\) car \({v}_{T}-{v}_{\partial T}=0.\) ■

2.3. Opérateurs locaux de reconstruction et de stabilisation

Les méthodes HHO se basent sur la reconstruction de différentes quantités discrètes qui vont venir jouer le rôle de leur contre-partie continue dans la formulation du problème discret. Dans le cas de la discrétisation du problème de l’élasticité linéaire, le premier ingrédient clé est l’opérateur de reconstruction du gradient symétrique \({E}_{T} : {U}_{T}^{k}\to \mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}_{\mathrm{sym}}^{d\times d})\) à partir de l’inconnue de cellule \(v_T \in \mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}^{d})\) et des inconnues de face \({v}_{\partial T} \in \mathbb{P}_{d-1}^{k}({F}_{T};\mathbb{R}^{d})\) composant la paire \({\widehat{v}}_{T}=({v}_{T},{v}_{\partial T})\). Pour tout \({\widehat{v}}_{T} \in {U}_{T}^{k}\), le gradient symétrique reconstruit \({E}_{T}({\widehat{v}}_{T}) \in \mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}_{\mathrm{sym}}^{d\times d})\) est obtenu en résolvant le problème local suivant: pour tout \(\tau \in \mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}_{\mathrm{sym}}^{d\times d})\) :

(2.6)\[{({E}_{T}({\widehat{v}}_{T}),\tau)}_{{L}^{2}(T)}={(\nabla^{s}{v}_{T},\tau)}_{{L}^{2}(T)}+{({v}_{\partial T}-{v}_{T},\tau{n}_{T})}_{{L}^{2}(\partial T)}\]

Résoudre ce problème implique de choisir une base polynomiale de \(\mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R})\) seulement et d’inverser la matrice de masse associée pour chaque composante du tenseur \({E}_{T}({\widehat{v}}_{T})\).

Le second ingrédient clé pour construire les méthodes HHO est l’opérateur de stabilisation locale qui permet d’imposer faiblement l’égalité entre les inconnues de face \({v}_{\partial T}\) et la trace de l’inconnue de cellule \({v}_{T}\) par le biais d’une pénalisation au sens des moindres carrés de la différence \({v}_{\partial T}-{v}_{T} \in \mathbb{P}_{d-1}^{k}({F}_{T};\mathbb{R}^{d})\). L’opérateur de stabilisation \({S}_{\partial T} \in \mathbb{P}_{d-1}^{k}({F}_{T};\mathbb{R}^{d})\) est défini tel que, pour tout \({\widehat{v}}_{T}=({v}_{T},{v}_{\partial T})\) :

(2.7)\[{S}_{\partial T}({\widehat{v}}_{T})={\Pi}_{\partial T}^{k}({v}_{\partial T}-{R}_{T}({\widehat{v}}_{T}))+{\Pi}_{T}^{k}({v}_{T}-{R}_{T}({\widehat{v}}_{T}))\]

où \({\Pi}_{\partial T}^{k}\) et \({\Pi}_{T}^{k}\) sont les projecteurs \(L^2\)-orthogonaux sur \(\mathbb{P}_{d-1}^{k}({F}_{T};\mathbb{R}^{d})\) et \(\mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}^{d})\) respectivement. De plus, l’opérateur local de reconstruction d’un champ de déplacement d’ordre supérieur \({R}_{T} : {U}_{T}^{k}\to \mathbb{P}_{d}^{k+1}(T;\mathbb{R}^{d})\) est défini tel que, pour tout \({\widehat{v}}_{T} \in {U}_{T}^{k}\), \({R}_{T}({\widehat{v}}_{T}) \in \mathbb{P}_{d}^{k+1}(T;\mathbb{R}^{d})\) est obtenu en résolvant le problème de Neumann suivant: pour tout \(w \in \mathbb{P}_{d}^{k+1}(T;\mathbb{R}^{d})\) :

(2.8)\[{(\nabla {R}_{T}({\widehat{v}}_{T}),\nabla w)}_{{L}^{2}(T)}={(\nabla {v}_{T},\nabla w)}_{{L}^{2}(T)}+{({v}_{\partial T}-{v}_{T},\nabla w \cdot {n}_{T})}_{{L}^{2}(\partial T)}\]

Cette reconstruction est définie de manière unique en imposant la valeur moyenne:

(2.9)\[{ \int}_{T}{R}_{T}({\widehat{v}}_{T})={ \int}_{T}{v}_{T}\]

Comme \({E}_{T}({\widehat{v}}_{T})\) n’est pas stable au sens où \({E}_{T}({\widehat{v}}_{T})=0\) n’implique pas nécessairement que \({v}_{\partial T}={v}_{T}=\mathrm{cst}\), il est nécessaire de coupler l’opérateur \({E}_{T}\) à l’opérateur de stabilisation \({S}_{\partial T}\). Ainsi, l’ajout de ce terme de stabilisation permet de retrouver une propriété de stabilité locale qui est nécessaire pour démontrer la coercivité du problème discret.

Lemme 2 (Stabilité et caractère borné)

Soit l’opérateur de reconstruction du gradient symétrique défini par (2.6) et l’opérateur de stabilisation défini par (2.7). Soit \({\gamma}_{\partial T}\) défini par (2.4). Alors, il existe \(0<{\alpha}_{s}<{\alpha}_{b}<+\mathrm{ \infty }\), indépendants de \(h\), tels que, pour tout \(T \in \mathcal{T}_{h}\) et tout \({\widehat{v}}_{T} \in {U}_{T}^{k}\) :

(2.10)\[{\alpha}_{s}{|{\widehat{v}}_{T}|}_{1,T}\le \sqrt{{\Vert {E}_{T}({\widehat{v}}_{T})\Vert }^{2}+{\Vert {\gamma}_{\partial T}^{\frac{1}{2}}{S}_{\partial T}({\widehat{v}}_{T})\Vert }^{2}}\le {\alpha}_{b}{|{\widehat{v}}_{T}|}_{1,T}\]

Preuve:

Voir Lemme 4 dans [3]. ■

Une autre propriété importante du gradient symétrique reconstruit est une propriété de commutativité qui est essentielle pour prouver la robustesse de la méthode dans la limite incompressible.

Lemme 3 (Commutativité)

Pour tout \(T \in \mathcal{T}_{h}\) et tout \(v \in {H}^{1}(T;\mathbb{R}^{d})\), l’égalité suivante est vraie:

(2.11)\[{E}_{T}({\widehat{I}}_{T}^{k}(v))={\Pi}_{T}^{k}(\nabla^{s}v)\]

où \({\widehat{I}}_{T}^{k} : {H}^{1}(T;\mathbb{R}^{d})\to {U}_{T}^{k}\) est l’opérateur local de réduction tel que:

(2.12)\[{\widehat{I}}_{T}^{k}(v)=({\Pi}_{T}^{k}(v),{\Pi}_{\partial T}^{k}(v))\]

Preuve:

Voir Proposition 3 dans [3]. ■

Pour la suite, nous définissons également l’opérateur de divergence discret \({D}_{T} : {U}_{T}^{k}\to \mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R} )\) tel que:

(2.13)\[{D}_{T}({\widehat{v}}_{T})=\mathrm{trace}({E}_{T}({\widehat{v}}_{T})), \: \forall {\widehat{v}}_{T} \in {U}_{T}^{k}\]

Remarque (Variantes des méthodes HHO):

Il existe plusieurs variantes de la méthode HHO présentée ici. Une fois le degré polynomial \(k\) fixé pour les inconnues de face, l’inconnue de cellule peut être de degré polynomial \(l \in \lbrace k-1,k,k+1\rbrace ,\:l\ge 1\) , sans changement des propriétés d’approximation et de stabilité (cf. [7] ).

2.4. Problème global discret HHO

Définissons maintenant le problème global discret. Posons:

(2.14)\[\mathbb{P}_{d}^{k}(\mathcal{T}_{h};\mathbb{R}^{d}) := {\times}_{T \in \mathcal{T}_{h}}\mathbb{P}_{d}^{k}(T;\mathbb{R}^{d}) \text{ et } \mathbb{P}_{d-1}^{k}(\mathcal{F}_{h};\mathbb{R}^{d}) := {\times}_{F \in \mathcal{F}_{h}}\mathbb{P}_{d-1}^{k}(F;\mathbb{R}^{d})\]

L’espace global des inconnues HHO est défini tel que:

(2.15)\[{U}_{h}^{k} := \mathbb{P}_{d}^{k}(\mathcal{T}_{h};\mathbb{R}^{d})\times \mathbb{P}_{d-1}^{k}(\mathcal{F}_{h};\mathbb{R}^{d})\]

Pour un élément générique \({\widehat{v}}_{h} \in {U}_{h}^{k}\), nous utilisons la notation \({\widehat{v}}_{h} := ({v}_{\mathcal{T}_{h}},{v}_{\mathcal{F}_{h}})\). Pour toute cellule \(T \in \mathcal{T}_{h}\) du maillage, nous notons \({\widehat{v}}_{T} \in {U}_{T}^{k}\) les composantes locales de \({\widehat{v}}_{h}\) liées à la cellule \(T\) et aux faces composant son bord \(\partial T\), et pour toute face \(F \in \mathcal{F}_{h}\), nous notons \({v}_{F}\) la composante de \({\widehat{v}}_{h}\) liée à la face \(F\). Des conditions aux limites de Dirichlet homogènes sont appliquées de manière forte sur les inconnues liées aux faces de bord \(F \in \mathcal{F}_{h}^{b}\). Nous introduisons pour cela le sous-espace:

(2.16)\[{U}_{h,0}^{k} := \lbrace {\widehat{v}}_{h} \in {U}_{h}^{k} \, : \, {v}_{F}=0, \:\forall F \in \mathcal{F}_{h}^{b}\rbrace\]

Nous définissons la fonction \({\Vert \cdot\Vert }_{{U}_{h,0}^{k}}\) telle que:

(2.17)\[{\Vert {\widehat{v}}_{h}\Vert }_{{U}_{h,0}^{k}}^{2}={\sum}_{T \in \mathcal{T}_{h}}{|{\widehat{v}}_{T}|}_{1,T}^{2},\: \forall {\widehat{v}}_{h} \in {U}_{h,0}^{k}\]

Proposition 1

La fonction \({\Vert \cdot\Vert }_{{U}_{h,0}^{k}}\) définit une norme sur \({U}_{h,0}^{k}\).

Preuve:

Il suffit de montrer que pour tout \({\widehat{v}}_{h} \in {U}_{h,0}^{k}\), \({\Vert {\widehat{v}}_{h}\Vert }_{{U}_{h,0}^{k}}^{2}=0\) implique \({v}_{T}=0\) pour tout \(T \in \mathcal{T}_{h}\) et \({v}_{F}=0\) pour tout \(F \in \mathcal{F}_{h}\). Remarquons que \({\Vert {\widehat{v}}_{h}\Vert }_{{U}_{h,0}^{k}}^{2}=0\) implique que pour tout \(T \in \mathcal{T}_{h}\) :

\[\nabla^{s}{v}_{T}=0, \:\text{ et }{v}_{T}{\mid}_{F}-{v}_{F}=0, \: \forall F \in {F}_{T}\]

Prenons une cellule \(T \in \mathcal{T}_{h}\) ayant au moins une face de bord \(F \in {F}_{T}\cap \mathcal{F}_{h}^{b}\), si bien que \({v}_{F}=0\). Alors \({v}_{T}{\mid}_{F}=0\) car \({v}_{T}{\mid}_{F}-{v}_{F}=0\). En combinant cela à \(\nabla^{s}{v}_{T}=0\) et avec une inégalité de Korn, nous obtenons \({v}_{T}=0\). De plus, comme \({v}_{T}{\mid}_{F'}-{v}_{F'}=0, \:\: \forall F' \in {F}_{T}\setminus F\), nous en déduisons \({v}_{F'}=0\) pour tout \(F' \in {F}_{T}\). Il suffit de prolonger ce raisonnement couche par couche de cellules jusqu’à avoir parcouru toutes les cellules \(T \in \mathcal{T}_{h}\) et toutes les faces \(F \in \mathcal{F}_{h}\). ■

Le problème discret est le suivant:

(2.18)\[ \begin{align}\begin{aligned}& \text{Trouver } {\widehat{u}}_{h} \in {U}_{h,0}^{k} \text{ tel que :}\\& {\sum}_{T \in \mathcal{T}_{h}}{a}_{T}({\widehat{u}}_{T},{\widehat{v}}_{T}) ={\sum}_{T \in \mathcal{T}_{h}}{(f,{v}_{T})}_{{L}^{2}(T)}, \: \forall {\widehat{v}}_{T} \in {U}_{h,0}^{k}\end{aligned}\end{align} \]

avec

(2.19)\[{a}_{T}({\widehat{u}}_{T},{\widehat{v}}_{T})=2\mu \left\lbrace {({E}_{T}({\widehat{u}}_{T}),{E}_{T}({\widehat{v}}_{T}))}_{{L}^{2}(T)}+{({S}_{\partial T}({\widehat{u}}_{T}),{S}_{\partial T}({\widehat{v}}_{T}))}_{{L}^{2}(\partial T)}\right\rbrace +\lambda{({D}_{T}({\widehat{u}}_{T}),{D}_{T}({\widehat{v}}_{T}))}_{{L}^{2}(T)}\]

Le membre de droite dans (2.19) est obtenu en remplaçant les opérateurs continus par leurs versions discrètes et en ajoutant le terme de stabilisation. Nous pouvons montrer qu’il existe une unique solution \({\widehat{u}}_{h} \in {U}_{h,0}^{k}\) au problème (cela découle de la propriété de stabilité locale du Lemme 2).

De plus, comme les contributions dans (2.18) sont calculées de manière locale aux cellules, il est très facile de paralléliser ces calculs.

Les méthodes HHO ont des taux de convergence optimaux sur des maillages généraux aussi bien en norme de l’énergie qu’en norme \(L^2\) (avec hypothèse de régularité elliptique).

Théorème 1 (Erreur en norme de l’énergie)

Soit \(k \geq 1\) et soit \(u \in {H}_{0}^{1}(\Omega_0;\mathbb{R}^{d})\), l’unique solution du problème (2.1) et \({\widehat{u}}_{h} \in {U}_{h,0}^{k}\) l’unique solution du problème (2.18). En supposant également la régularité additionnelle \(u \in {H}^{k+2}(\Omega_0;\mathbb{R}^{d})\), il existe une constante \(C>0\), indépendante de \(h\), \(\mu\), et \(\lambda\), telle que:

(2.20)\[{\left({\sum}_{T \in \mathcal{T}_{h}}{|{\widehat{I}}_{T}^{k}u-{\widehat{u}}_{T}|}_{1,T}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}} \le C{h}^{k+1}(2\mu{|u|}_{{H}^{k+2}(\Omega_{0})}+\lambda{|\nabla \cdot u|}_{{H}^{k+1}(\Omega_{0})})\]

Preuve:

Voir Théorème 8 dans [3]. ■

Théorème 2 (Erreur en norme \(L^2\))

Sous les hypothèses du Théorème 1 et en supposant également la régularité elliptique, il existe une constante \(C>0\), indépendante de \(h\), \(\mu\), et \(\lambda\), telle que:

(2.21)\[{\left({\sum}_{T \in \mathcal{T}_{h}}{\Vert {\Pi}_{T}^{k}u-{u}_{T}\Vert }_{{L}^{2}(T)}^{2}\right)}^{\frac{1}{2}}\le C{h}^{k+2}(2\mu{|u|}_{{H}^{k+2}(\Omega_{0})}+\lambda{|\nabla \cdot u|}_{{H}^{k+1}(\Omega_{0})})\]

Preuve:

Voir Théorème 11 dans [3]. ■

Les estimations du Théorème 1 et du Théorème 2 sont robustes à limite incompressible puisqu’elles ne font intervenir que la régularité de \(\nabla \cdot u\) en fonction de \(\lambda\). Ces taux de convergence sont confirmés numériquement ainsi que la robustesse. Enfin, il est important de rappeler que ces taux de convergence sont supérieurs d’un ordre à ceux obtenus pour des éléments finis \({H}^{1}\)-conformes en utilisant des polynômes de degré \(k\) dans les cellules.