2. Définitions#
La construction des relations cinématiques nécessitent l’introduction des matrices qui permettent d’expliciter les formules de changement de point de réduction pour les différents torseurs. On rappelle que le torseur d’efforts d’un nœud esclave \(i\) transporté sur le nœud maître \(M\) s’écrit:
(2.1)#\[\begin{split}{T}_{M}=\left[\begin{array}{c}{F}_{M}\\ {M}_{M}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{F}_{i}\\ {M}_{i}+{\xi}_{i}\wedge {F}_{i}\end{array}\right]\end{split}\]
On introduit ainsi la matrice \({S}_{i}\) :
(2.2)#\[\begin{split}{S}_{i}=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& {\xi}_{\mathit{iz}}& -{\xi}_{\mathit{iy}}\\ 0& 1& 0& -{\xi}_{\mathit{iz}}& 0& {\xi}_{\mathit{ix}}\\ 0& 0& 1& {\xi}_{\mathit{iy}}& -{\xi}_{\mathit{ix}}& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{split}\]
De sorte qu’on puisse écrire:
(2.3)#\[{T}_{M}={S}_{i}^{T}{T}_{i}\]
Le calcul des relations nécessite une mise à l’échelle des composantes de rotation, afin que les relations créées ne soient pas modifiées lors d’un changement d’échelle du problème. Pour cela, on définit la longueur caractéristique suivante:
(2.4)#\[{L}_{c}=\frac{{\sum}_{i=1}^{n}\parallel {\xi}_{i}\parallel }{n}\]
et les matrices (diagonales), associées au coefficient de pondération pour le \(i\) -ème nœud esclave:
(2.5)#\[\begin{split}{W}_{i}={\omega}_{i}\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& {L}_{c}^{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& {L}_{c}^{2}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& {L}_{c}^{2}\end{array}\right]\end{split}\]