2. Le raccord 3D-coque#

2.1. Objectif#

Le but principal est d’avoir un modèle de raccord entre une structure coquée et une structure tridimensionnelle 3D, en utilisant une formulation de liaison par méthode variationnelle faible. Cette approche plus rigoureuse permet d’assurer une transmission cohérente et précise des efforts mécaniques.

_images/shell_solid.png

2.2. Le cadre du raccord#

Le couplage entre les deux domaines (volumique et coque) est formulé à l’aide d’une approche variationnelle faible, menant à un système mixte de type Lagrangien. Le système global s’écrit alors sous la forme suivante :

\[\begin{split}\begin{bmatrix} \mathbf{K} & \mathbf{B}_l^T & \mathbf{B}_c^T \\ \mathbf{B}_l & 0 & 0 \\ \mathbf{B}_c & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u} \\ \lambda_l \\ \lambda_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{f} \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}\end{split}\]

où :

  • \(\mathbf{K}\) est la matrice de rigidité globale issue de l’assemblage des domaines,

  • \(\mathbf{u} = (\mathbf{u}_v, \mathbf{u}_s) \in \mathbf{V}_v \times \mathbf{V}_s\) regroupe les inconnues de déplacement et rotations des deux sous-domaines,

  • \(\lambda_l\) et \(\lambda_c\) sont les multiplicateurs de Lagrange associés respectivement aux conditions de liaison coque-solide et aux conditions aux limites éventuelles,

  • \(\mathbf{B}_l\) et \(\mathbf{B}_c\) représentent les opérateurs de liaison et de conditions aux limites, respectivement.

L’équation variationnelle associée à la contrainte de liaison cinématique s’écrit :

\[\int_{\Gamma } \lambda_l \, \gamma_{\Gamma}(\mathbf{u}_v - \mathbf{u}_s) \, d\mu = 0 \quad \forall \lambda_l \in W_{\lambda}\]

ce qui revient à imposer :

\[\mathbb{P}_{W_{\lambda}} \left( \gamma_{\Gamma}(\mathbf{u}_v - \mathbf{u}_s) \right) = \mathbf{B}_l \mathbf{u} = 0\]

où :

  • \(W_{\lambda}\) est l’espace des multiplicateurs de Lagrange

  • \(\mathbb{P}_{W_{\lambda}}\) désigne l’opérateur de projection orthogonale dans l’espace \(W_{\lambda}\) au sens du produit scalaire de \(L^2(\Gamma)\).

Cela garantit la continuité faible des déplacements à l’interface \(\Gamma\) entre les deux modèles, assurant ainsi un couplage mécaniquement cohérent.

2.3. Invertibilité du système : cas discret#

Soit \(h\) un paramètre caractérisant la finesse du maillage. On suppose l’indépendance des contraintes, c’est-à-dire :

\[\ker \mathbf{B}_l + \ker \mathbf{B}_c = \mathbf{V}^h_v \times \mathbf{V}^h_s\]

Dans ce cas, une condition nécessaire à l’invertibilité est la surjectivité de \(\mathbf{B}_l\). Cela revient à vérifier l’inégalité suivante :

\[\sup_{\mathbf{u} \in \mathbf{V}^h_v \times \mathbf{V}^h_s} \frac{ \langle \lambda_l, \mathbf{B}_l \mathbf{u} \rangle } { \lVert \mathbf{u} \rVert_{\mathbf{V}^h_v \times \mathbf{V}^h_s} } \geq c(h) \lVert \lambda_l \rVert \quad \text{avec } c(h) > 0\]

où \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) désigne le produit scalaire dans \(L^2(\Gamma)\).

2.3.1. Espace des multiplicateurs de Lagrange#

Si l’on choisit un espace de multiplicateurs de Lagrange tel que :

\[W_{\lambda}^h = \gamma_{\Gamma}(\mathbf{V}^h_s)\]

c’est-à-dire si l’on considère des fonctions de la forme :

\[\lambda_l(s, t) = \lambda_1(s) + \frac{t}{2} \lambda_2(s)\]

Les fonctions \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) appartiennent au même espace que celui utilisé pour la cinématique de la coque induite par l’opérateur trace. Dans ce cas, la condition de stabilité précédente est vérifiée, mais la constante de stabilité demeure néanmoins dépendante du maillage.

Remarquons au passage que la qualité de la liaison dépend également du niveau d’inclusion suivant :

\[\mathbb{P}_{W_{\lambda}^h} \left( \gamma_{\Gamma}(\mathbf{V}^h_v) \right) \subset \gamma_{\Gamma}(\mathbf{V}^h_s)\]

Lorsque cette inclusion est une égalité, cela signifie que la discrétisation utilisée pour la partie volumique reproduit bien la cinématique de la coque à l’interface.