1. Problème de référence#
L’analyse consiste à déterminer le dommage moyen subi par une pièce soumise à un chargement aléatoire.
Le chargement de type aléatoire est entièrement caractérisé par les valeurs des moments spectraux d’ordre 0, 2 et 4 : \({\lambda}_{0}\) , \({\lambda}_{2}\) et \({\lambda}_{4}\) qui sont introduits sous les mots clés MOMENT_SPEC_0, MOMENT_SPEC_2 et MOMENT_SPEC_4.
Pour le calcul du dommage il faut choisir une méthode de comptage parmi les deux disponibles dans Code_Aster :
méthode de comptage des pics de contraintes,
méthode de comptage de dépassement d’un niveau donné.
Il faut de plus introduire la courbe de Wöhler du matériau qui peut être définie sous trois formes mathématiques distinctes :
fonction point par point, qui donne la valeur du nombre de cycles à la rupture, en fonction de la contrainte alternée \({S}_{\mathrm{alt}}\) ,
forme analytique de Basquin : \(D=A{S}_{\mathrm{alt}}^{\beta}\)
forme analytique “zone courante”
\({S}_{\mathrm{alt}}\) = contrainte alternée = \(1/2({E}_{C}/E)\Delta \sigma\)
\(X={\log}_{10}({S}_{\mathrm{alt}})\)
\(N={10}^{\mathrm{a0}+\mathrm{a1}X+\mathrm{a2}{X}^{2}+\mathrm{a3}{X}^{3}}\)
\(D=\) |
\(1./N\) |
si \({S}_{\mathrm{alt}}\ge {S}_{l}\) |
\(0.\) |
sinon |
où \({E}_{C}\) = Module d’Young associé à la courbe de fatigue du matériau,
\(E\) = Module d’Young utilisé pour déterminer les contraintes,
les constantes du matériau \(\mathrm{a0}\) , \(\mathrm{a1}\) , \(\mathrm{a2}\) et \(\mathrm{a3}\) ,
et \({S}_{l}\) la limite d’endurance du matériau.
De plus, on peut éventuellement tenir compte d’un coefficient de concentration élasto‑plastique \(\mathrm{Ke}\) , défini par :
\(\lbrace \begin{array}{ccc}{K}_{e}=1& \mathrm{si}& \Delta \sigma <3{S}_{m}\\ {K}_{e}=1+(1-n)/(\Delta \sigma /3{S}_{m}-1)/(n(m-1))& \mathrm{si}& 3{S}_{m}<\Delta \sigma <3m{S}_{m}\\ {K}_{e}=1/n& \mathrm{si}& 3m{S}_{m}<\Delta \sigma \end{array}\)
où \({S}_{m}\) est la contrainte maximale admissible,
et \(n\) et \(m\) deux constantes dépendant du matériau.
Dans ce test, pour un chargement aléatoire donné unique, on détermine le dommage moyen dans dix configurations distinctes, selon la forme de la courbe de Wöhler et la méthode de comptage de cycles.
1.1. Propriétés de matériaux pour l’étude de la fatigue#
Les propriétés du matériau concernent la donnée d’une courbe de Wöhler permettant de déterminer le nombre de cycles à la rupture pour un niveau de chargement donné.
1.1.1. Courbe de Wöhler sous forme analytique Basquin#
Configuration 1 |
A |
\(\beta\) |
1.0017309939 E–14 |
4.065 |
Configuration 2 |
A |
\(\beta\) |
|
1.1.2. Courbe de Wöhler sous forme “zone courante”#
Paramètres de définition de la configuration 3:
\(\mathrm{a0}\) |
\(\mathrm{a1}\) |
\(\mathrm{a2}\) |
\(\mathrm{a3}\) |
\(\mathrm{Ec}\) |
\(E\) |
\(\mathrm{Sl}\) |
11.495 |
–5. |
0.25 |
–0.07 |
Paramètres de définition de la configuration 4:
\(\mathrm{a0}\) |
\(\mathrm{a1}\) |
\(\mathrm{a2}\) |
\(\mathrm{a3}\) |
\(\mathrm{Ec}\) |
\(E\) |
\(\mathrm{Sl}\) |
11.495 |
–5. |
0.25 |
–0.07 |
De plus, on prend on compte un coefficient de concentration élasto-plastique \(\mathrm{Ke}\) défini par les paramètres pour cette configuration.
\(\mathrm{Sm}\) |
\(n\) |
\(m\) |
0.6 |
1.4 |
1.1.3. Courbe de Wöhler sous forme fonction point par point (configuration 5)#
\({S}_{\mathrm{alt}}\) |
|||||||
\(N\) |
3.125E+11 |
976562.5E+4 |
1.E+8 |
12860.09 |
5949.899 |
3051.76 |
\({S}_{\mathrm{alt}}\) |
|||||||
\(N\) |
1693.51 |
1000.0 |
620.921 |
401.8779 |
269.329 |
185.934 |
131.6869 |
\({S}_{\mathrm{alt}}\) |
|||||||
\(N\) |
95.3674 |
70.4296 |
52.9221 |
40.3861 |
31.25 |
24.4852 |
19.40379 |
\({S}_{\mathrm{alt}}\) |
|||||||
\(N\) |
15.5368 |
12.55869 |
10.23999 |
8.41653 |
6.96917 |
5.81045 |
4.8754 |
\({S}_{\mathrm{alt}}\) |
165 |
||||||
\(N\) |
4.11523 |
3.49294 |
2.98023 |
2.55523 |
2.20093 |
1.90397 |
1.65382 |
\({S}_{\mathrm{alt}}\) |
||||
\(N\) |
1.44209 |
1.26207 |
1.10835 |
0.976562 |
1.2. Histoire du chargement#
Le chargement aléatoire est entièrement caractérisé par les valeurs des moments spectraux :
\({\lambda}_{0}\) |
\({\lambda}_{2}\) |
\({\lambda}_{4}\) |
182.5984664 |
96098024.76 |
6.346193569E+13 |