1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
Le maillage de la colonne poroélastique est donné ci-contre. L’axe de propagation est dirigé suivant \((\mathit{OY})\) . La hauteur totale de la colonne est de \(25m\) , pour \(0.4m\) de largeur. Les 5 premiers mètres du bas sont discrétisés par des éléments de \(1m\) d’épaisseur tandis que les \(20m\) suivants sont discrétisés par des éléments de \(0.2m\) d’épaisseur. L’ensemble de la colonne contient ainsi 105 éléments.
Image 1.1.1: Maillage de la colonne
1.2. Propriétés des matériaux#
On donne dans le tableau ci-après les propriétés matériaux de la modélisation hydromécanique couplée. On suppose le matériau poreux élastique linéaire et entièrement saturé d’eau.
A partir des propriétés matériaux suivant, la célérité des ondes de compression est donnée par la relation:
\({C}_{p}=\sqrt{\frac{\lambda +2\mu }{{\rho}_{\mathit{homo}}}}=534,14{\mathit{m.s}}^{-1}\)
où \(\lambda\) et \(\mu\) sont les modules de Lamé.
Eau liquide |
Masse volumique \({\rho}_{l}\) Compressibilité \({K}_{l}\) Viscosité \(\nu\) |
\(1000{\mathit{kg.m}}^{-3}\) \(0,1\mathit{MPa}\) \(0,001\) |
Paramètres homogénéisés |
Perméabilité intrinsèque \({K}^{int}\) Porosité \(\varphi\) Masse volumique homogénéisée \({\rho}_{\mathit{homo}}\) |
\({10}^{-12}{m}^{2}\) \(0,23\) \(2105{\mathit{kg.m}}^{-3}\) |
Squelette solide élastique linéaire |
Module de compressibilité \(K\) Module de cisaillement \(G\) |
\(313,1\mathit{MPa}\) \(215,6\mathit{MPa}\) |
Tableau 1.2-1: Propriétés hydromécaniques de la colonne poro-élastique
1.3. Conditions aux limites et initiales#
On souhaite propager de bas en haut une onde compression dans la colonne avec un blocage de sa partie supérieure afin qu’il y ait réflexion de l’onde à cet endroit et propagation inverse de haut en bas. Une frontière absorbante (élément paraxial) est placée à la base de la colonne afin d’amortir complètement l’onde réfléchie.
La colonne étant soumise à la pesanteur, des conditions géostatiques en contraintes effectives et en pression hydraulique préexistent initialement dans celle-ci. L’équilibrage initial de la colonne n’est pas évidente et nécessite la procédure suivante:
la base de la colonne, flanquée de l’élément paraxial (en rouge), est bloquée à l’aide de ressorts très raides. Un calcul statique préalable ( figure 1 ) permet de récupérer un champ de contraintes et de pression hydraulique en équilibre avec les conditions aux limites et de chargement;
on calcule les forces nodales (résultante des forces à la fois mécanique et hydraulique, en vert) dans les ressorts ( figure 2 );
Ces forces nodales sont réinjectées à la base où l’on désactive simultanément les ressorts en leur affectant des raideurs très faibles ( figure 3 ). Les conditions aux limites ainsi définies permettent de produire un état hydromécanique initial parfaitement équilibré;
Le calcul dynamique peut avoir lieu en injectant l’onde à partir de l’élément paraxial ( figure 4 );
Afin de rendre compte de l’invariance par translation horizontale (problème 1D), on solidarise les déplacements latéraux par une liaison de type LIAISON_DDL.
Image 1.3.1: Procédure d’équilibrage initial de la colonne
Les conditions aux limites, initiales et de chargement sont résumées dans les tableaux suivants:
Conditions aux limites |
||
\(\mathit{HAUT}\) |
MECA_IMPO |
\(\mathit{DX}=\mathit{DY}=\mathit{DZ}=0\) |
\(\mathit{COTE}\) |
LIAISON_DDL |
\({\mathit{DX}}_{\mathit{gauche}}={\mathit{DX}}_{\mathit{droit}}\) \({\mathit{DY}}_{\mathit{gauche}}={\mathit{DY}}_{\mathit{droit}}\) \({\mathit{DZ}}_{\mathit{face}}={\mathit{DZ}}_{\mathit{arrière}}\) |
\(\mathit{BAS}\) |
FORC_NODA |
|
Tableau 1.3-1: conditions aux limites
Tableau 1.3-2: conditions initiales
Tableau 1.3-3: chargements
1.4. Onde plane#
L’onde plane de compression est une ondelette de type Ricker dont le profil est donné ci-après. Il est important de noter que le signal doit être introduit sous la forme d’une vitesse en fonction du temps.
Image 1.4.1: Ondelette incidente (Ricker)