1. Problème de référence#
Ce cas-test représente la désaturation d’une colonne initialement saturée en eau par effet gravitaire (expérience de Liakopoulos). Ici nous considérons que l’air peut se dissoudre dans l’eau (version proposée par VAUNAT en 1997).
1.1. Géométrie#
Le domaine est un barreau de taille \([\mathrm{0m};0,1m]\times [\mathrm{0m};\mathrm{1m}]\) .
1.2. Propriétés des matériaux#
On ne donne ici que les propriétés dont la solution dépend, sachant que le fichier de commandes contient d’autres données de matériau qui ne jouent aucun rôle dans la solution du problème traité.
Eau liquide |
Masse volumique \((k.{m}^{-3})\) Masse molaire \((k.{m}^{-1})\) Viscosité \((\mathit{kg}.{m}^{-1}.{s}^{-1})\) compressibilité |
\(1000\) \({10}^{-2}\) \({10}^{-3}\) \(0,5{10}^{-9}\) |
Gaz |
Masse volumique \((\mathit{kg}.{m}^{-3})\) Masse molaire \((\mathit{kg}.{\mathit{mol}}^{-1})\) Viscosité \((\mathit{kg}.{m}^{-1}.{s}^{-1})\) |
\(8{10}^{-2}\) \(28,96{10}^{-3}\) \(1,8{10}^{-5}\) |
Gaz dissous |
Coefficient de Henry \((\mathit{Pa}.{\mathit{mol}}^{-1}.{m}^{3})\) |
\(2{10}^{-6}\) |
Vapeur |
Masse volumique \((\mathit{kg}.{m}^{-3})\) |
\(18{10}^{-3}\) |
Paramètres homogénéisés |
Perméabilité \(k\) \(({m}^{2})\) Porosité Fick gaz \(({m}^{2}.{s}^{-1})\) Fick liquide \(({m}^{2}.{s}^{-1})\) |
\({10}^{-12}\) \(0,2975\) \(0\) \(0\) |
Paramètres de Van-Genuchten |
\(N\) \({P}_{r}\) \(\mathit{MPa}\) \({S}_{rl}\) \({S}_{gr}\) \(\mathit{Smax}\) |
\(2\) \({10}^{4}\) \(0\) \(0\) \(0,999\) |
État initial |
Pression liquide Pression de gaz |
\({P}_{l}^{0}=\rho gY+1\mathit{atm}-\rho g\) \({P}_{g}^{0}=1\mathit{atm}\) |
Tableau 1.2-1 : Propriétés des matériaux
Les courbes de saturation et de perméabilités obéissent au modèle Mualem-Van-Genuchten (HYDR_VGM). Il faut donc définir dans les matériaux les paramètres \(n\) , \(\mathit{Pr}\) , \(\mathit{Sr}\) , \(\mathit{Smax}\) .
On rappelle que ces modèles sont: \({S}_{le}=\frac{{S}_{l}-{S}_{\mathit{lr}}}{1-{S}_{\mathit{lr}}}\) et \(m=1-\frac{1}{n}\)
\({S}_{\mathit{we}}=\frac{1}{{\left[1+{(\frac{{P}_{c}}{{P}_{r}})}^{n}\right]}^{m}}\)
La perméabilité relative à l’eau s’exprime en intégrant le modèle de prédiction proposé par Mualem (1976) dans le modèle de capillarité de Van Genuchten: \({k}_{r}^{l}=\sqrt{{S}_{le}}{(1-{(1-{S}_{le}^{\frac{1}{m}})}^{m})}^{2}\)
La perméabilité au gaz est formulée de façon similaire: \({k}_{r}^{g}=\sqrt{(1-{S}_{le})}{(1-{S}_{le}^{\frac{1}{m}})}^{2m}\)
On rappelle que pour \(S>\mathit{Smax}\) , ces courbes sont interpolées par un polynôme de degré 2 \(\mathit{C1}\) en \(\mathrm{Smax}\) .
1.3. Conditions aux limites et initiales#
Les conditions limites sont les suivantes :
des conditions de Neumann sur les bords droit et gauche du domaine :
\(({F}_{l}^{w}+{F}_{g}^{w}).n=0\)
\(({F}_{l}^{c}+{F}_{g}^{c}).n=0\)
des conditions de Dirichlet sur la partie haute du domaine (surface à l’air libre):
\({P}_{g}(x,y=1,t)={10}^{5}\mathit{Pa}\)
des conditions de Dirichlet sur la partie basse du domaine (milieu saturé; l’eau s’écoule):
\({P}_{g}(x,y=0,t)={10}^{5}\mathit{Pa}\)
\({P}_{l}(x,y=0,t)={10}^{5}\mathit{Pa}\)
L’état initial correspond à un état saturé en eau à l’équilibre hydrostatique. Les conditions initiales sont les suivantes :
\({P}_{l}(x,y,t=0)=\rho g(Y-1)+{10}^{5}\)
\({P}_{g}(x,y,t)=0={10}^{5}\mathit{Pa}\)
1.4. Temps de simulation#
Le calcul est effectué sur un an \(({\mathrm{3.1536.10}}^{7}s)\) .