1. Problème de référence#
1.1. Géométrie#
Le domaine est un carré de taille \([\mathrm{0m},10m]\times [\mathrm{0m};\mathrm{10m}]\) avec un trou de \([\mathrm{1m},1m]\) en bas à gauche.
Figure 1.1-a: Représentation du domaine
1.2. Propriétés des matériaux#
On ne donne ici que les propriétés dont la solution dépend, sachant que le fichier de commandes contient d’autres données de matériau qui ne jouent aucun rôle dans la solution du problème traité.
Eau liquide |
Masse volumique \((\mathit{kg}.{m}^{-3})\) Masse molaire \((\mathit{kg}.{\mathit{mol}}^{-1})\) Viscosité \((\mathit{kg}.{m}^{-1}.{s}^{-1})\) |
\(1000\) \({10}^{-2}\) \({10}^{-3}\) |
Gaz |
Masse volumique \((\mathit{kg}.{m}^{-3})\) Masse molaire \((\mathit{kg}.{\mathit{mol}}^{-1})\) Viscosité \((\mathit{kg}.{m}^{-1}.{s}^{-1})\) |
\(8{10}^{-2}\) \(2{10}^{-3}\) \(9{10}^{-5}\) |
Gaz dissous |
Coefficient de Henry \((\mathit{Pa}.{\mathit{mol}}^{-1}.{m}^{3})\) |
\(130719\) |
Vapeur |
Masse volumique \((\mathit{kg}.{m}^{-3})\) |
\({10}^{-4}\) |
Paramètres homogénéisés |
Perméabilité \(k\) \(({m}^{2})\) Porosité Fick gaz \(({m}^{2}.{s}^{-1})\) Fick liquide \(({m}^{2}.{s}^{-1})\) |
\(5{10}^{-20}\) \(0.15\) \(0\) \(0,45{10}^{-9}\) |
Paramètres de Van-Genuchten |
\(N\) \({P}_{r}\) \(\mathit{MPa}\) \({S}_{rl}\) \({S}_{gr}\) \(\mathrm{Smax}\) |
\(1,49\) \(2\) \(0\) \(0\) \(0,999\) |
Etat initial |
Pression capillaire \((\mathit{Pa})\) Pression de gaz \((\mathit{Pa})\) |
\(\lbrace \begin{array}{}{P}_{l}^{0}={10}^{-6}\\ {S}_{l}=1\end{array}\) \(\iff \lbrace \begin{array}{}{P}_{c}^{0}=-{10}^{-6}\\ {P}_{g}^{0}=0\end{array}\) |
Tableau 1.2-1: propriétés des matériaux
Les courbes de saturation et de perméabilités obéissent au modèle Mualem-Van-Genuchten (HYDR_VGM). Il faut donc définir dans les matériaux les paramètres \(n,\mathrm{Pr},\mathrm{Sr},\mathrm{Smax}\) .
On rappelle que ces modèles sont: \({S}_{le}=\frac{{S}_{l}-{S}_{\mathrm{lr}}}{1-{S}_{\mathrm{lr}}}\) et \(m=1-\frac{1}{n}\)
\({S}_{\mathrm{we}}=\frac{1}{{\left[1+{(\frac{{P}_{c}}{{P}_{r}})}^{n}\right]}^{m}}\)
La perméabilité relative à l’eau s’exprime en intégrant le modèle de prédiction proposé par Mualem (1976) dans le modèle de capillarité de Van Genuchten.
\({k}_{r}^{l}=\sqrt{{S}_{le}}{(1-{(1-{S}_{le}^{\frac{1}{m}})}^{m})}^{2}\)
La perméabilité au gaz est formulée de façon similaire par une loi de Parker:
\({k}_{r}^{g}=\sqrt{(1-{S}_{le})}{(1-{S}_{le}^{\frac{1}{m}})}^{2m}\)
On rappelle que pour \(S>\mathrm{Smax}\) , ces courbes sont interpolées par un polynôme de degré 2 \(\mathrm{C1}\) en \(\mathrm{Smax}\) .
Pour la modélisation E, la loi de Parker pour la perméabilité relative au gaz est remplacée par une loi cubique (moi “HYDR_VGC”) :
\({k}_{r}^{g}={(1-{S}_{l})}^{3}\)
1.3. Conditions aux limites et initiales#
Les conditions limites sont les suivantes :
des conditions de Neumann sur le droite et la gauche du domaine :
\(({F}_{l}^{w}+{F}_{g}^{w}).n=0\)
\(({F}_{l}^{c}+{F}_{g}^{c}).n=0\)
des conditions de Neumann dans le trou \(\tau\) :
Si \(0<t<T\) alors \(({F}_{l}^{w}+{F}_{g}^{w}).n=0\)
Si \(0<t<T\) alors \(({F}_{l}^{c}+{F}_{g}^{c}).n=Q\)
Si \(T<t<T\) alors \(({F}_{l}^{c}+{F}_{g}^{c}).n=0\)
des condition de Dirichlet sur la partie en haut à droite du domaine :
\({P}_{l}(9\le x\le 10,y=10,t)={10}^{6}\mathit{Pa}\)
\({P}_{g}(9\le x\le 10,y=10,t)=0\mathit{Pa}\)
Les conditions initiales sont les suivantes :
\({P}_{l}(x,y,t=0)={10}^{6}\mathit{Pa}\)
\({P}_{g}(x,y,t=0)=0\mathit{Pa}\)
Le flux d’hydrogène imposée sur la partie gauche, \(Q\) , vaut :
\(Q=0,44{.10}^{\text{-11}}{\mathrm{kg.m}}^{\text{-2}}.{s}^{\text{-1}}\)
Le temps d’injection, \(\mathrm{TINJ}\) est de \({5.10}^{5}\) ans et le temps de simulation est de \({10}^{6}\) ans.