1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

Le domaine est un barreau de taille \([\mathrm{0m},200m]\times [\mathrm{0m},\mathrm{1m}]\) :

1.2. Propriétés des matériaux#

On ne donne ici que les propriétés dont la solution dépend, sachant que le fichier de commandes contient d’autres données de matériau qui ne jouent aucun rôle dans la solution du problème traité.

Eau liquide
Masse volumique \((k.{m}^{-3})\)

Masse molaire \((\mathit{kg}.{\mathit{mol}}^{-1})\) Viscosité \((\mathit{kg}.{m}^{-1}.{s}^{-1})\)
\(1000\)

\({10}^{-2}\) \({10}^{-3}\)

Gaz
Masse volumique \((k.{m}^{-3})\)

Masse molaire \((k.{m}^{-1})\) Viscosité \((k.{m}^{-1}.{s}^{-1})\)
\(8{10}^{-2}\)

\(2{10}^{-3}\) \(9{10}^{-5}\)

Gaz dissous

Coefficient de Henry \((P.{\mathrm{mol}}^{-1}.{m}^{3})\)

\(130719\)

Vapeur

Masse volumique \((k.{m}^{-3})\)

\({10}^{-4}\)

Paramètres homogénéisés
Perméabilité k \(({m}^{2})\)

Porosité Fick gaz \(({m}^{2}.{s}^{-1})\) Fick liquide \(({m}^{2}.{s}^{-1})\)
\(5{10}^{-20}\)

\(0.15\) \(0\) \(0,45{10}^{-9}\)

Paramètres de Van-Genuchten
\(N\)

\({P}_{r}\) \((\mathit{MPa})\) \({S}_{rl}\) \({S}_{gr}\) \(\mathrm{Smax}\) \({P}_{e}\) \((\mathrm{MPa})\)
\(1,49\)

\(2\) \(0,4\) \(0\) \(0,999\) 0

État initial
Pression capillaire \((\mathit{Pa})\)

Pression de gaz \((\mathit{Pa})\)

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Les courbes de saturation et de perméabilités obéissent au modèle Mualem-Van-Genuchten (HYDR_VGM). Il faut donc définir dans les matériaux les paramètres \(n\) , \(\mathit{Pr}\) , \(\mathit{Sr}\) , \(\mathit{Smax}\) . On rappelle que ces modèles sont:

(1.1)#\[{S}_{le}=\frac{{S}_{l}-{S}_{\mathit{lr}}}{1-{S}_{\mathit{lr}}}\]

La perméabilité relative à l’eau s’exprime en intégrant le modèle de prédiction proposé par Mualem (1976) dans le modèle de capillarité de Van Genuchten:

(1.2)#\[{k}_{r}^{g}=\sqrt{(1-{S}_{le})}{(1-{S}_{le}^{\frac{1}{m}})}^{2m}\]

La perméabilité au gaz est formulée de façon similaire:

(1.3)#\[{k}_{r}^{w}=\sqrt{(1-{S}_{we})}{(1-{S}_{we}^{1/m})}^{\mathrm{2m}}\]

On rappelle que pour \(S>\mathit{Smax}\) , ces courbes sont interpolées par un polynôme de degré deux \({C}^{1}\) en \(\mathit{Smax}\) .

1.3. Conditions aux limites et initiales#

Les conditions limites sont les suivantes :

  • des conditions de Neumann sur le haut et le bas du domaine :

\(\begin{array}{c}({F}_{l}^{w}+{F}_{g}^{w})\cdot n=0\\ ({F}_{l}^{c}+{F}_{g}^{c})\cdot n=0\end{array}\)

  • des conditions de Neumann sur la partie gauche du domaine :

Si \(0<t<\mathit{TSIM}\) alors \(({F}_{l}^{w}+{F}_{g}^{w})\cdot n=0\)

Si \(0<t<\mathit{TINJ}\) alors \(({F}_{l}^{c}+{F}_{g}^{c})\cdot n=Q\)

Si \(\mathit{TINJ}<t<\mathit{TSIM}\) alors \(({F}_{l}^{c}+{F}_{g}^{c})\cdot n=0\)

  • des conditions de Dirichlet sur la partie droite du domaine :

\(\begin{array}{c}{P}_{l}(x=200,y,t)={10}^{-6}\mathit{Pa}\\ {P}_{g}(x=200,y,t)=0\mathit{Pa}\end{array}\)

Les conditions initiales sont les suivantes :

\(\begin{array}{c}{P}_{l}(x,y,t=0)={10}^{-6}\mathit{Pa}\\ {P}_{g}(x,y,t=0)=0\mathit{Pa}\end{array}\)

Le flux d’hydrogène imposée sur la partie gauche, \(Q\) , vaut :

\(Q=1,76{.10}^{-13}\mathit{kg}/{m}^{2}s\)

Le temps d’injection, \(\mathit{TINJ}\) est de \(5.{10}^{5}\mathit{ans}\) et le temps de simulation est de \({10}^{6}\mathit{ans}\) .