2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Il s’agit d’une solution analytique.
En effet, bien que la loi introduite soit une loi de THM, seule la partie mécanique est ici active car la pression de liquide est imposée nulle partout sur le domaine.
De plus en ce qui concerne la partie mécanique, on a imposé une loi élastique en choisissant le KIT_THM ELAS comme loi mécanique.
Ainsi, étant donné les conditions aux limites et le chargement, on a:
\({\sigma}_{xx}=11\text{MPa}\) sur toute la surface
\({\sigma}_{yy}=15.4\text{MPa}\) sur toute la surface
De plus, nous sommes en déformations planes soit \({\varepsilon}_{zz}=0\)
Or comme \(\varepsilon =\frac{1+\nu }{E}\sigma -\frac{\nu}{E}\text{Tr}(\sigma )I\)
Soit \({\varepsilon}_{zz}=0=\frac{{\sigma}_{zz}}{E}-\frac{\nu}{E}{\sigma}_{xx}-\frac{\nu}{E}{\sigma}_{yy}\)
D’où \({\sigma}_{zz}=\nu ({\sigma}_{xx}+{\sigma}_{yy})\)
Donc \({\sigma}_{zz}=7.92\text{MPa}\)
On obtient donc les valeurs des déformations grâce à la loi élastique
\(\begin{array}{}{\varepsilon}_{xx}=6.9034482759{10}^{-4}\\ {\varepsilon}_{yy}=1.67655172414{10}^{-3}\end{array}\)
Les autres valeurs du tenseur des déformations (et de contraintes) sont nulles.
On calcule aussi le déplacement de la structure.
\(\begin{array}{}{\varepsilon}_{xx}=\frac{\partial {u}_{x}}{\partial x}\\ {\varepsilon}_{yy}=\frac{\partial {u}_{y}}{\partial y}\end{array}\)
\(\begin{array}{}{u}_{x}(x,y)={\varepsilon}_{xx}x+{u}_{x}(0,0)\\ {u}_{y}(x,y)={\varepsilon}_{yy}y+{u}_{y}(0,0)\\ \end{array}\)
Or par raison de symétrie \({u}_{A}=u(-1,-1)=0\) , donc
\(\begin{array}{}{u}_{x}(0,0)={\varepsilon}_{xx}\\ {u}_{y}(0,0)={\varepsilon}_{yy}\end{array}\)
on s’intéresse au déplacement au point C, de coordonnées \((1,1)\)
On a donc:
\(\begin{array}{}{u}_{x}(C)=2{\varepsilon}_{xx}=1.3806896551{10}^{-3}\\ {u}_{y}(C)=2{\varepsilon}_{yy}=3.35310344828{10}^{-3}\end{array}\)
2.2. Résultats de référence#
Déplacements \({u}_{x}\) et \({u}_{y}\) au point \(C\) et déformations \(({\varepsilon}_{xx},{\varepsilon}_{yy})\) aux points \(A\) , \(B\) , \(C\) et \(D\)
2.3. Incertitude sur la solution#
Solution analytique
2.4. Références bibliographiques#
CHAVANT:Modélisations THHM. Généralités et algorithmes, document R7.01.10
CHAVANT, B. CIREE: Loi de comportement à double critère Drücker-Prager pour la fissuration et la compression du béton, document R7.01.03