1. Problème de référence

1.1. Formalisme général adopté

Avant toute chose, nous rappelons la définition de l’opérateur d’appariement (par lancer de rayon ici). Ce dernier, noté \(\Pi_{t}^{{\rm sm}}\), prend en entrée un point de la surface esclave \(\underline{x}^{{\rm s}}\), et le fait correspondre à un point de la surface maître \(\widehat{\underline{x}}^{{\rm m}}\):

\[\begin{split}\begin{array}{l|rcl} \Pi_{t}^{{\rm sm}}: & \Gamma^{{\rm s}}_{{\rm C}, t} & \longrightarrow & \Gamma^{{\rm m}}_{{\rm C}, t} \\ & \underline{x}^{{\rm s}} & \longmapsto & \widehat{\underline{x}}^{{\rm m}} \end{array}\end{split}\]

Le choix a été fait dans ce cas-test de considérer notamment des cas où nous partons d’une situation avec deux plans parallèles. Une translation ou une rotation (contrôlée et détaillée ci dessous) est réalisée ensuite pour la maille esclave (maille supérieure dans les choix adoptés ici). La maille maître reste inchangée.

Dans la suite, nous fournissons une expression analytique (ou semi-analytique) dans la suite afin de disposer de solutions de référence. Les mailles en bleu correspondent aux mailles maîtres tandis que les mailles esclaves sont représentées en rouge. Nous définissons les notations suivantes :

• \(\underline{A}^{\rm s}\) et \(\underline{B}^{\rm s}\) (resp. \(\underline{A}^{\rm m}\) et \(\underline{B}^{\rm m}\)) les nœuds du segment esclave (resp. maître),

• \(\Pi^{\rm sm} \underline{A}^{\rm s} = \widehat{\underline{A}}^{\rm m}\) et \(\Pi^{\rm sm} \underline{B}^{\rm s} =\widehat{\underline{B}}^{\rm m}\) les projections sur la maille maître des nœuds esclaves par le biais d’un lancer de rayon,

• \(\widehat{\underline{a}}^{\rm m}\) et \(\widehat{\underline{b}}^{\rm m}\) les projections de \(\widehat{\underline{A}}^{\rm m}\) et \(\widehat{\underline{A}}^{\rm m}\) sur la maille maître,

• \(\left(\Pi^{\rm sm}\right)^{-1}\widehat{\underline{a}}^{\rm m} = \widehat{\underline{a}}^{\rm s}\) et \(\left(\Pi^{\rm sm}\right)^{-1}\widehat{\underline{b}}^{\rm m} = \widehat{\underline{b}}^{\rm s}\): les projections de \(\widehat{\underline{a}}^{\rm m}\) et \(\widehat{\underline{b}}^{\rm m}\) sur la maille esclave par l’inverse de l’opérateur d’appariement.

1.2. Cas étudiés

Nous étudions deux configurations ici:

• le cas de deux mailles de peau parallèles:

  

• le cas de deux mailles de peau avec une rotation relative entre les deux plans:

  

Nous nous plaçons dans des cas qui ne sont pas « pathologiques » afin de valider les opérations élémentaires de la projection-intersection.