1. Problème de référence

1.1. Cadre théorique

Les inconnues du problème sont les degrés de liberté de déplacement et d’endommagement nodales. Il s’agit alors de minimiser une énergie de la forme :

\(\phi (u,\alpha )=\frac{1}{2}A(d)E{\epsilon}^{2}+\psi (d)+\frac{c}{2}\nabla \alpha .\nabla \alpha\)

Où \(E\) est le module de Young du matériau, \(A(d)\) la fonction de rigidité, \(\psi (d)\) la dissipation et \(c\) le coefficient non local.

Dans le cas de la loi ENDO_CARRE :

\(A(d)={(1-d)}^{2}\) et \(\psi (d)=\frac{{\sigma}_{y}^{2}}{E}d\)

Le critère correspondant à la loi ENDO_CARRE, pour une solution homogène (\(\nabla \alpha =0\) ), s’écrit donc :

\(d=1-(\frac{{W}_{y}}{{W}_{\mathrm{el}}})\)

Où \({W}_{\mathrm{el}}\) est l’énergie de déformation élastique et :

\({W}_{y}=\frac{{\sigma}_{y}^{2}}{2E}\)

1.2. Géométrie

On considère un cube de côté \(L=1\text{m}\) .

dy

dx

dz

Figure 1 : Représentation du problème

1.3. Propriétés du matériau

Loi d’endommagement : matériau ENDO_CARRE

Caractéristiques élastiques :

\(E=1\text{Pa}\)

\(\nu =0.\)

Caractéristiques liées à la loi d’endommagement :

Limite d’élasticité :

\(\mathrm{SY}=0.01\text{Pa}\)

Caractéristiques non-locales :

\(c=1.0\text{N}\)

1.4. Conditions aux limites et chargements

Encastrement : Déplacements imposés nuls DY = 0 \(m\) . sur la face du bas (\(y=0.\) ), DX = 0 \(m\) . sur la face gauche (\(x=0.\) ) et DZ = 0 \(m\) . sur la face arrière (\(z=0.\) ) . Voir figure 1.

Chargement 1 : Déplacement linéaire imposé \({U}_{1}\) sur la face droite (\(x=1.\) ) :

\({U}_{1}=0.0\text{m}\) pour INST=0, \({U}_{1}=0.02\text{m}\) pour INST=1.0.

Chargement 1 : Déplacement linéaire imposé \({U}_{2}\) sur la face droite (\(y=1.\) ) :

\({U}_{2}=0.0\text{m}\) pour INST=0, \({U}_{2}=0.02\text{m}\) pour INST=1.0.

Chargement 1 : Déplacement linéaire imposé \({U}_{3}\) sur la face droite (\(z=1.\) ) :

\({U}_{3}=0.0\text{m}\) pour INST=0, \({U}_{3}=0.02\text{m}\) pour INST=1.0.