2. Solution de référence#

2.1. Modélisation A#

Ce cas modélise une masse qui rebondit sur une surface élastique (modélisation A)

2.1.1. Résultats de référence#

La masse est lâchée avec une vitesse initiale \({V}_{0}\) (configuration a), tant qu’elle n’a pas touchée le sol, elle ne subit que la pesanteur. Lorsqu’elle touche le sol élastique, elle est soumise en plus de la pesanteur à un effort du type \(k.\delta x\) (configuration b). Une fois le rebond terminé, elle n’est plus soumise qu’à la pesanteur (configuration a) avec une vitesse initiale \({V}_{1}\) .

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Tableau 2.1.1-1 : Modèle de comportement

Équation pendant la chute libre (configuration a):

(2.1)#\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g\\ Et donc, par intégration:\end{aligned}\end{align} \]
(2.2)#\[ \begin{align}\begin{aligned}x=-g.\frac{{t}^{2}}{2}+{V}_{0}.t\\ La durée de la chute est obtenue en résolvant :math:`x=h` :\end{aligned}\end{align} \]
(2.3)#\[{t}_{\mathit{chute}}=\frac{1}{g}\left[{V}_{0}+\sqrt{{V}_{0}^{2}-2.g.h}\right]\]

Équation pendant le rebond (configuration b):

(2.4)#\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g+k.(h-z)\\ Et, donc:\end{aligned}\end{align} \]
(2.5)#\[ \begin{align}\begin{aligned}x={C}_{1}\sin(w.\stackrel{~}{t})+{C}_{2}\cos(w.\stackrel{~}{t})+(h-g/{w}^{2})\\ Les deux constantes valent:\end{aligned}\end{align} \]
(2.6)#\[ \begin{align}\begin{aligned}{C}_{2}=g/{w}^{2};{C}_{1}=\frac{-1}{w}\sqrt{{V}_{O}^{2}-2.g.h}\\ Le temps correspondant au décollement est obtenu en résolvant :math:`x=h` :\end{aligned}\end{align} \]
(2.7)#\[\tan\left(w.\frac{{\stackrel{~}{t}}_{\mathit{decol}}}{2}\right)={w}^{2}.\frac{{C}_{1}}{g}\]

2.2. Modélisation B#

Ce cas modélise une masse qui rebondit sur une surface absorbante.

2.2.1. Résultats de référence#

La masse est lâchée avec une vitesse initiale \({V}_{0}\) (configuration a), tant qu’elle n’a pas touchée la surface, elle ne subit que la pesanteur. Lorsqu’elle touche lasurface absorbante, elle est soumise en plus de la pesanteur à un effort du type \(k.\delta x+c.\dot{x}\) (configuration c). Une fois le rebond terminé, elle n’est plus soumise qu’à la pesanteur (configuration a) avec une vitesse initiale \({V}_{1}\) .

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Tableau 2.2.1-1 : Modèle de comportement

Équation pendant la chute libre(configuration a)

(2.8)#\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g\\ Et donc, par intégration:\end{aligned}\end{align} \]
(2.9)#\[ \begin{align}\begin{aligned}x=-g.\frac{{t}^{2}}{2}+{V}_{0}.t\\ La durée de la chute est obtenue en résolvant :math:`x=h` :\end{aligned}\end{align} \]
(2.10)#\[{t}_{\mathit{chute}}=\frac{1}{g}\left[{V}_{0}+\sqrt{{V}_{0}^{2}-2.g.h}\right]\]

Équation pendant le rebond (configuration c):

(2.11)#\[ \begin{align}\begin{aligned}m.\ddot{x}=-m.g+k.(h-z)-c.\dot{x}\\ Et donc:\end{aligned}\end{align} \]
(2.12)#\[ \begin{align}\begin{aligned}x=\exp\left(\frac{-c.\stackrel{~}{t}}{2.m}\right)\left[{C}_{1}\sin\left(\frac{\mathit{Rd}.\stackrel{~}{t}}{2}\right)+{C}_{2}\cos\left(\frac{\mathit{Rd}.\stackrel{~}{t}}{2}\right)\right]+(h-g/{w}^{2}) \textrm{avec} \stackrel{~}{t}=t-{t}_{\mathit{chute}}\\ Les constantes valent:\end{aligned}\end{align} \]
(2.13)#\[ \begin{align}\begin{aligned}{C}_{2}=g/{w}^{2};{C}_{1}=\frac{c.g-2.k.\sqrt{{V}_{O}^{2}-2.g.h}}{k.\sqrt{4.k.m-{c}^{2}/{m}^{2}}}\\ Le temps correspondant au décollement est obtenu en résolvant numériquement :math:`x=h` .\end{aligned}\end{align} \]

2.2.2. Incertitude sur les solutions#

Aucune incertitude (solution analytique).