1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

La structure \(\mathrm{2d}\) est un carré unitaire (\(\mathit{LX}=1m\) , \(\mathit{LY}=1m\) ), comportant une fissure droite débouchante à droite, située à mi-hauteur. (Figure ). On appelle la ligne de gauche la ligne en \(x=0\) , la ligne de droite la ligne en \(x=\mathit{LX}\) et la ligne inférieure la ligne en \(y=0\) .

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Figure 1.1-a : Géométrie de la plaque carrée fissurée

On note \({P}^{+}\) la point de coordonnées \(\left(\mathit{LX},{\mathit{LY}}^{+}/2\right)\) (situé sur la lèvre supérieure), \({P}^{-}\) la point de coordonnées \((\mathit{LX},{\mathit{LY}}^{-}/2)\) (situé sur la lèvre inférieure), et \(Q\) le point de coordonnées \(\left(\mathit{LX}/2,\mathit{LY}/2\right)\) (situé en pointe de fissure).

1.2. Propriétés du matériau#

Conductivité thermique: \(\lambda =1{\mathit{W.m}}^{\text{-1}}.{K}^{\text{-1}}\)

Capacité calorifique volumique: \(\rho {C}_{p}=2\mathit{J.m}-{\mathrm{3.K}}^{-1}\)

Coefficient d’échange entre les lèvres de la fissure \(h=2{\mathit{W.m}}^{\text{-2}}.{K}^{\text{-1}}\)

1.3. Conditions aux limites et chargements#

On résout le problème sur l’intervalle de temps \(\left[0.s,1.s\right]\) discrétisé en 5 pas de temps égaux (de durée \(\Delta t=0.2s\) ). On prend la valeur par défaut dans THER_LINEAIRE du paramètre du thêta-schéma: \(\theta =0.57\) .

Sur les nœuds du segment \(\mathit{AB}\) (voir Figure ), on impose la rampe de température suivante:

à \(t=0.s\) , \(\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\mathit{AB}}=10°C\) ; à \(t=1.s\) , \(\text{}\stackrel{ˉ}{T}{\rbrace ^{\mathit{AB}}=20°C\)

Sur les nœuds du segment \(\mathit{CD}\) (voir Figure ), on impose la rampe de température suivante:

à \(t=0.s\) , \(\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\mathit{CD}}=20°C\) ; à \(t=1.s\) , \(\text{}\stackrel{̄}{T}{\rbrace ^{\mathit{CD}}=40°C\)

Enfin, sur les lèvres de la fissure, on impose une condition de Neumann de type condition d’échange.

1.4. Conditions initiales#

L’état initial est déterminé en résolvant le problème stationnaire à \(t=0.s\) (avec les conditions aux limites données au paragraphe 1.3 )