1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

La structure utilisée est décrite dans ce qui suit:

  • une dalle de dimensions dx = 10m et dy = 6m dans le plan (x,y), et d’épaisseur ez = 30cm.

  • 4 poteaux sur lesquels repose la dalle, de 5m de hauteur, et avec une section rectangulaire de dimensions: hy = 50cm et hz = 20cm. L’axe local ‘y’ des poteaux coïncide avec l’axe X global de la géométrie, tandis que l’axe local ‘z’ coïncide avec l’axe Y global de la géométrie.

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Figure

Figure 1: Géométrie de la structure

1.2. Propriétés du matériau#

Le matériau est élastique isotrope dont les propriétés sont :

      • \(>\)

      • \(>\)

Pour le calcul du ferraillage (à l’Eurocode 2), on considérera le jeu de propriétés suivant pour la plaque:

  • Enrobage inférieur et supérieur \({c}_{inf}={c}_{\sup}=4\mathit{cm}\)

  • Résistance caractéristique à la compression du béton \({f}_{\mathit{ck}}=35\mathit{MPa}\)

  • Limite d’écrouissage caractéristique de l’acier \({f}_{\mathit{yk}}=500\mathit{MPa}\)

  • Module d’Young de l’acier \({E}_{\mathit{ys}}=210000\mathit{MPa}\)

  • Type de diagramme (σ-ε): ‘B2’

  • Coefficient de sécurité de l’acier à l’ELU Fondamental \({\gamma}_{s}=1,15\)

  • Coefficient de sécurité du béton à l’ELU Fondamental \({\gamma}_{c}=1,5\)

  • Coefficient de sécurité de l’acier à l’ELU Accidentel \({\gamma}_{s}=1\)

  • Coefficient de sécurité du béton à l’ELU Accidentel \({\gamma}_{c}=1,2\)

  • Contrainte limite du béton à l’ELS Caractéristique \({\sigma}_{\text{c,lim}}=0,6\times 35=21\mathit{MPa}\)

  • Contrainte limite de l’acier à l’ELS Caractéristique \({\sigma}_{\text{s,lim}}=0,8\times 500=400\mathit{MPa}\)

  • Contrainte limite du béton à l’ELS Quasi Permanent \({\sigma}_{\text{c,lim,qp}}=0,45\times 35=15,75\mathit{MPa}\)

  • Coefficient d’équivalence acier-béton à l’ELS \({\alpha}_{E}=15,0\)

  • Classe de l’acier: ‘B’ / \({\alpha}_{\mathit{cc}}=1,0\)

  • \(\mathit{FERR}\text{\_}\mathit{SYME}='\mathit{NON}'\) / \(\mathit{FERR}\text{\_}\mathit{COMP}='\mathit{OUI}'\) / \(\mathit{EPURE}\text{\_}\mathit{CISA}='\mathit{NON}'\) / \(\mathit{UTIL}\text{\_}\mathit{COMPR}='\mathit{NON}'\)

  • Masse volumique de l’acier \({\rho}_{\mathit{acier}}=7800\mathit{kg}/{m}^{3}\)

  • Ouverture maximale des fissures autorisée en face inférieure à l’ELS QP \({w}_{\text{max,inf}}=0,3\mathit{mm}\)

  • Ouverture maximale des fissures autorisée en face supérieure à l’ELS QP \({w}_{\text{max,sup}}=0,3\mathit{mm}\)

  • Coefficient de durée de chargement pour le calcul à l’ELS QP \({K}_{T}=0,4\)

  • Diamètre des barres suivant ‘X’ pour le calcul à l’ELS QP \({\varphi}_{X}=25,0\mathit{mm}\)

  • Diamètre des barres suivant ‘Y’ pour le calcul à l’ELS QP \({\varphi}_{Y}=25,0\mathit{mm}\)

  • Considération du ferraillage minimal à l’EC2.

Pour les poteaux :

  • Enrobages \({c}_{y,inf}={c}_{y,\sup}={c}_{z,inf}={c}_{z,\sup}=4\mathit{cm}\)

  • Résistance caractéristique à la compression du béton \({f}_{\mathit{ck}}=35\mathit{MPa}\)

  • Limite d’écrouissage caractéristique de l’acier \({f}_{\mathit{yk}}=500\mathit{MPa}\)

  • Module d’Young de l’acier \({E}_{\mathit{ys}}=210000\mathit{MPa}\)

  • Type de diagramme (σ-ε): ‘B2’

  • Coefficient de sécurité de l’acier à l’ELU Fondamental \({\gamma}_{s}=1,15\)

  • Coefficient de sécurité du béton à l’ELU Fondamental \({\gamma}_{c}=1,5\)

  • Coefficient de sécurité de l’acier à l’ELU Accidentel \({\gamma}_{s}=1\)

  • Coefficient de sécurité du béton à l’ELU Accidentel \({\gamma}_{c}=1,2\)

  • Contrainte limite du béton à l’ELS Caractéristique \({\sigma}_{\text{c,lim}}=0,6\times 35=21\mathit{MPa}\)

  • Contrainte limite de l’acier à l’ELS Caractéristique \({\sigma}_{\text{s,lim}}=0,8\times 500=400\mathit{MPa}\)

  • Contrainte limite du béton à l’ELS Quasi Permanent \({\sigma}_{\text{c,lim,qp}}=0,45\times 35=15,75\mathit{MPa}\)

  • Coefficient d’équivalence acier-béton à l’ELS \({\alpha}_{E}=15,0\)

  • Classe de l’acier: ‘B’ / \({\alpha}_{\mathit{cc}}=1,0\)

  • \(\mathit{FERR}\text{\_}\mathit{SYME}='\mathit{NON}'\) / \(\mathit{FERR}\text{\_}\mathit{COMP}='\mathit{OUI}'\) / \(\mathit{EPURE}\text{\_}\mathit{CISA}='\mathit{NON}'\) / \(\mathit{UTIL}\text{\_}\mathit{COMPR}='\mathit{NON}'\)

  • Masse volumique de l’acier \({\rho}_{\mathit{acier}}=7800\mathit{kg}/{m}^{3}\)

  • Ouverture maximale des fissures autorisée en face inférieure (Y et Z) à l’ELS QP \({w}_{\text{max,inf}}=0,3\mathit{mm}\)

  • Ouverture maximale des fissures autorisée en face supérieure (Y et Z) à l’ELS QP \({w}_{\text{max,sup}}=0,3\mathit{mm}\)

  • Coefficient de durée de chargement pour le calcul à l’ELS QP \({K}_{T}=0,4\)

  • Diamètre des barres suivant ‘Y’ pour le calcul à l’ELS QP \({\varphi}_{Y}=25,0\mathit{mm}\)

  • Diamètre des barres suivant ‘Z’ pour le calcul à l’ELS QP \({\varphi}_{Z}=25,0\mathit{mm}\)

1.3. Conditions aux limites et chargements#

Les 4 poteaux sont encastrés en leurs bases.

On considérera par ailleurs 3 cas de chargements:

  • Poids propre \(G\) de la structure

  • Une pression surfacique \({P}_{r}=15000N\) appliquée sur la dalle

  • Une force de translation horizontale suivant ‘X’ \({F}_{t}=800000N\) appliquée sur les 4 poteaux

Le calcul de ferraillage sera alors mené par rapport à 7 combinaisons de ces 3 efforts, correspondant à différents états limites de calcul:

  • Comb 1 - ELU FONDAMENTAL – \({P}_{r}\) dominante: \(1,35G+1,5{P}_{r}+1,5\times 0,6{F}_{t}\)

  • Comb 2 - ELU FONDAMENTAL – \({F}_{t}\) dominante: \(1,35G+1,5\times 0,7{P}_{r}+1,5{F}_{t}\)

  • Comb 3 - ELU ACCIDENTEL : \(G+{P}_{r}+{F}_{t}\)

  • Comb 4 - ELSCARACTERISTIQUE – \({P}_{r}\) dominante: \(G+{P}_{r}+0,6{F}_{t}\)

  • Comb 5 - ELSCARACTERISTIQUE – \({F}_{t}\) dominante: \(G+0,7{P}_{r}+{F}_{t}\)

  • Comb 6 - ELSQUASI PERMANENT – \({P}_{r}\) dominante: \(G+{P}_{r}+0,15{F}_{t}\)

  • Comb 7 - ELS QUASI PERMANENT – \({F}_{t}\) dominante: \(G+0,3{P}_{r}+{F}_{t}\)

1.4. Conditions initiales#

La structure est initialement au repos.