1. Problème de référence#
1.1. Cadre théorique#
Dans le cas d’un problème conservatif, on définit la stabilité de l’état d’équilibre par la stricte positivité de l’ensemble des valeurs propres de l’opérateur tangent. Ce qui s’écrit, dans le cas d’un opérateur tangent \(K\) symétrique :
\(\underset{x}{\mathit{Min}}(\frac{{x}^{T}.\mathit{Kx}}{{x}^{T}.x})>0\)
Dans le cas des problèmes non conservatifs, des conditions unilatérales d’irréversibilité sont imposées sur certaines composantes du vecteur \(x\) . L’inégalité précédente devient alors suffisante mais non nécessaire pour déduire la stabilité d’un état d’équilibre.
L’une des fonctionnalités développée dans l’algorithme d’optimisation sous contraintes permet de se limiter au calcul de la plus petite valeur propre (grandeur à laquelle on accède rapidement), lorsque celle-ci est de signe positif. Dans ce cas précis, la valeur référencée pour le critère de stabilité est exactement celle de la plus petite valeur propre, recalculée à partir de la méthode des puissances. On n’effectue pas d’étapes supplémentaires de projection pour déterminer la valeur exacte du minimum sous contraintes d’inégalités. Ce qui permet un gain de temps de calcul.
On s’intéresse dans le cas test présenté ici, à une barre en traction uniforme, dont le comportement est purement élastique. La caractère élastique est conservatif et assure la stricte positivité de la plus petite valeur propre de l’opérateur tangent. On se trouve donc dans le cas précis où la fonctionnalité décrite précédemment est déclenchée.
1.2. Géométrie#
On considère une barre \(\mathrm{2D}\) de longueur \(L=4m\) est de hauteur \(h=0.5m\)
Figure 1 : Représentation du problème
1.3. Propriétés du matériau#
1.3.1. Loi élastique : matériau ELAS#
Caractéristiques : \(E=1\text{Pa}\) , \(\nu =0.\)
1.4. Conditions aux limites et chargements#
Encastrement : Déplacements imposés nuls \(\mathit{DY}=0m\) . sur l’ensemble des nœuds et \(\mathit{DX}=0m\) . sur la face gauche (\(x=0.\) ). Voir figure1.
Chargement 1 : Déplacement linéaire imposé \({U}_{1}\) sur la face droite (\(x=4.\) ) : \({U}_{1}=t\cdot {10}^{-6}\text{m}\)