2. Solution de référence

2.1. Méthode de calcul

La solution de référence utilise les résultats ci-dessous :

\(\delta c\) et \(\delta b\) représentent le déplacement aux points \(C\) et \(B\) .

\(\mathrm{EI.}\delta c=\frac{\mathrm{Fc}.L}{3}+\frac{5.\mathrm{Fb}.{L}^{3}}{48}\) [1]

\(\mathrm{EI.}\delta b=\frac{5.\mathrm{Fc}.{L}^{3}}{47}+\frac{\mathrm{Fb.}{L}^{3}}{24}\) [2]

La réaction d’appui \(\mathrm{Fa}=-\mathrm{Fc}-\mathrm{Fb}\) [3]

Les conditions aux limites qui sont utilisées lors de la validation sont : un déplacement en \(C\) : \(\delta c\) et un éventuel effort en \(B\) : \(\mathrm{Fb}\) . La résolution des équations [], [], [] donnent les expressions suivantes :

\(\begin{array}{}\delta b=\frac{7.\mathrm{Fb.}{L}^{3}}{768.\mathrm{EI}}+\frac{5.\delta c}{16}\\ \mathrm{Fc}=\frac{3.\delta \mathrm{c.}\mathrm{EI}}{{L}^{3}}-\frac{5.\mathrm{Fb}}{16}\\ \mathrm{Fa}=-\frac{3.\delta \mathrm{c.}\mathrm{EI}}{{L}^{3}}-\frac{\mathrm{11.Fb}}{16}\end{array}\)

2.2. Grandeurs et résultats de référence

Les calculs réalisés sur les 4 poutres diffèrent soit par des conditions aux limites imposées à leurs nœuds \(B\) et \(C\) , soit par une définition différente du repère local. Les conditions aux limites imposées en déplacement ou en effort permettent de déterminer les solutions théoriques des différents cas envisagés.

Caractéristiques de la poutre :

\(3.\mathit{EIy}=10E+07{\mathit{N.m}}^{2}\) \(\mathrm{3.EIz}=4.0E+07{\mathit{N.m}}^{2}\)

Nom de la poutre : \(\mathit{Pout01}\)

Données :

Vect_y : \((-0.01.00.0)\)

\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)

\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(1.0E-03m\)

Résultats théoriques :

\(\mathrm{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta y.\mathrm{EIz}}{{L}^{3}}\)

\(\mathrm{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta z.\mathrm{EIy}}{{L}^{3}}\)

Nom de la poutre : \(\mathit{Pout02}\)

Données :

Vect_y : \((-0.00.01.0)\)

\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)

\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(1.0E-03m\)

Résultats théoriques :

\(\mathrm{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{3.\delta \mathrm{z.}\mathrm{EIz}}{{L}^{3}}\)

\(\mathrm{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIy}}{{L}^{3}}\)

Nom de la poutre : \(\mathit{Pout03}\)

Données :

Vect_y : \((-1.01.00.0)\)

\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)

\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(1.0E-03m\)

Résultats théoriques :

\(\mathit{FX}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3\sqrt{2}.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIz}}{{\mathrm{2.L}}^{3}}\)

\(\mathit{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{3\sqrt{2}.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIz}}{2.{L}^{3}}\)

\(\mathit{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3.\delta \mathrm{z.}\mathrm{EIy}}{{L}^{3}}\)

Nom de la poutre : \(\mathit{Pout04}\)

Données :

Vect_y : \((-1.01.00.0)\)

\(\delta y\) en \(C\) (dans le repère local) : \(2.0E-03m\)

\(\delta z\) en \(C\) (dans le repère local) : \(0\)

\(\mathit{FZ}\) en \(B\) (dans le repère global) : \(1000.0\)

Résultats théoriques :

\(\mathit{FX}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3\sqrt{2}.\delta y.\mathrm{EIz}}{{\mathrm{2.L}}^{3}}\)

\(\mathit{FY}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-3\sqrt{2}.\delta \mathrm{y.}\mathrm{EIz}}{{\mathrm{2.L}}^{3}}\)

\(\mathit{FZ}\) en \(A\) (dans le repère global) : \(\frac{-11.\mathrm{Fb}}{16}\)

\(\mathit{DZ}\) en \(B\) (dans le repère global) : \(\frac{7.\mathrm{Fb}.{L}^{3}}{768.\mathrm{EI}}\)