2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
Tout d’abord, il faut remarquer qu’il n’existe pas de formule analytique exacte pour le calcul de modes propres dans le contexte de théorie de coques (Love, Reissner, Flügge, etc.).
Cependant, au cours des années, plusieurs méthodes ont été développées pour approcher les modes propres d’une coque cylindrique ayant plusieurs types de conditions de bord. Parmi elles, on y trouve:
la méthode GDQ (Generalized differential quadrature) s’inspirant de la
procédure de Ritz par Loy et al. (1997) [1],
la méthode de propagation d’ondes (ou wave propagation) utilisant de
développements de Fourier par Zhang et al. (2001) [2] et par Xuebin (2008) [3],
la méthode RRM (reverberation-ray matrix) par Tang et al. (2016) [4].
2.2. Résultats de référence#
La grande majorité des auteurs présentent leurs résultats en utilisant la fréquence normalisée \(\Omega=\omega R((1-\nu^2)\rho/E)^{1/2}\) où \(\omega\) est la vitesse angulaire en \(\textrm{rad}.\textrm{s}^{-1}\), \(R\) est le rayon moyen du tuyau en \(\textrm{m}\), \(\nu\) est le coefficient de Poisson, \(\rho\) est la masse volumique en \(\textrm{kg}.\textrm{m}^{-3}\) et \(E\) est le module de Young en \(\textrm{Pa}\). La fréquence propre est ainsi calculée par \(f=\omega/(2\pi)\).
Comme l’explique Cammalleri et al. (2016) [5], la déformation en vibration libre d’une coque cylindrique consiste en un nombre \(n\) d’ondes sur la section orthogonale à l’axe, et un nombre \(m\) de demi-ondes sur la section contenant l’axe, appelées respectivement ondes circonférentielles et demi-ondes longitudinales. Ainsi, chaque forme modale est caractérisée par une paire de valeurs \(n\) et \(m\) (voir, par exemple, les Figs. 1, 2 et 3).
La forme des ondes circonférentielles est indépendante des conditions aux limites, alors que la forme des demi-ondes longitudinales dépend des conditions aux limites et est similaire aux vibrations de flexion de poutres soumises aux mêmes contraintes.
Figure 2.2-1: Mode de vibration \(n=2\) et \(m=1\)
Figure 2.2-2: Mode de vibration \(n=3\) et \(m=1\)
Figure 2.2-3: Mode de vibration \(n=4\) et \(m=2\)
Le tableau suivant présente la fréquence normalisée du premier mode axial (\(m=1\)) en fonction du mode circonférentiel (\(n=1,\ldots,10\)), telle que rapportée par différents auteurs.
n |
m |
Loy, 1997 |
Zhang, 2001 |
Xuebin, 2008 |
Tang, 2016 |
1 |
1 |
0,032885 |
0,034879 |
0,034879 |
0,032792 |
2 |
1 |
0,013932 |
0,014052 |
0,014052 |
0,013902 |
3 |
1 |
0,022672 |
0,022725 |
0,022726 |
0,022667 |
4 |
1 |
0,042208 |
0,042271 |
0,042272 |
0,042208 |
5 |
1 |
0,068046 |
0,068116 |
0,068116 |
0,068046 |
6 |
1 |
0,099748 |
0,099823 |
0,099823 |
0,099749 |
7 |
1 |
0,137249 |
0,137328 |
0,137329 |
0,137251 |
8 |
1 |
0,180535 |
0,180617 |
0,180618 |
0,180536 |
9 |
1 |
0,229599 |
0,229684 |
0,229684 |
0,229684 |
10 |
1 |
0,284439 |
0,284526 |
0,284527 |
0,284526 |
Tableau 2.2-1: Fréquences normalisées pour différents modes \(n\) avec un mode \(m\) fixe
En utilisant les données du matériau et les résultats de référence précédents, les fréquences propres sont:
n |
m |
Loy, 1997 |
Zhang, 2001 |
Xuebin, 2008 |
Tang, 2016 |
1 |
1 |
28,377367 |
30,098044 |
30,098044 |
28,297115 |
2 |
1 |
12,022304 |
12,125856 |
12,125856 |
11,996417 |
3 |
1 |
19,56429 |
19,610025 |
19,610888 |
19,559975 |
4 |
1 |
36,422439 |
36,476804 |
36,477667 |
36,422439 |
5 |
1 |
58,718757 |
58,779162 |
58,779162 |
58,718757 |
6 |
1 |
86,075281 |
86,140001 |
86,140001 |
86,076144 |
7 |
1 |
118,435921 |
118,504093 |
118,504956 |
118,437647 |
8 |
1 |
155,788597 |
155,859357 |
155,860219 |
155,789459 |
9 |
1 |
198,127266 |
198,200615 |
198,200615 |
198,200615 |
10 |
1 |
245,450204 |
245,525279 |
245,526142 |
245,525279 |
Tableau 2.2-2: Fréquences propres pour différents modes \(n\) avec un mode \(m\) fixe
Il est important de noter que, bien qu’en général, pour un \(n\) fixe, la fréquence associée à la paire \((n,m+1)\) soit supérieure à celle du mode \((n,m)\), ce n’est pas nécessairement le cas lorsque l’on garde \(m\) fixe et que l’on fait varier \(n\).
Par exemple, il se peut que la fréquence correspondant au mode \((n=2,m=1)\) soit inférieure à celle du mode \((n=1,m=1)\), ce qui peut conduire à des graphiques de fréquences modales qui semblent inhabituels ou contre-intuitifs (voir par exemple Fig. 2.2-4). Ce phénomène dépend fortement de la géométrie du cylindre et des conditions aux limites, ce qui peut rendre l’interprétation des résultats plus complexe.
Figure 2.2-4: Fréquences propres en fonction du mode circonférentiel pour plusieurs modes axiaux
Comme le montrent les résultats de Xuebin (2008) [3], les modes propres par ordre croissant pour le problème de référence sont les suivants :
Ordre |
n |
m |
Xuebin, 2008 |
1 |
2 |
1 |
12,13 |
2 |
3 |
1 |
19,61 |
3 |
3 |
2 |
23,28 |
4 |
2 |
2 |
28,06 |
5 |
1 |
1 |
30,09 |
6 |
3 |
3 |
31,97 |
7 |
4 |
1 |
36,48 |
8 |
4 |
2 |
37,38 |
9 |
4 |
3 |
39,77 |
Tableau 2.2-3: Les premiers modes propres en ordre croissant
2.3. Références bibliographiques#
1. Loy CT, Lam KY, Shu C. Analysis of cylindrical shells using generalized differential quadrature. Shock and vibration. 1997;4(3):193-8.
2. Zhang XM, Liu GR, Lam KY. Frequency analysis of cylindrical panels using a wave propagation approach. Applied Acoustics. 2001 May 1;62(5):527-43.
3. Xuebin L. Study on free vibration analysis of circular cylindrical shells using wave propagation. Journal of sound and vibration. 2008 Apr 8;311(3-5):667-82.
4. Tang D, Wu G, Yao X, Wang C. Free Vibration Analysis of Circular Cylindrical Shells with Arbitrary Boundary Conditions by the Method of Reverberation-Ray Matrix. Shock and Vibration. 2016;2016(1):3814693.
5. Cammalleri M, Costanza A. A closed-form solution for natural frequencies of thin-walled cylinders with clamped edges. International Journal of Mechanical Sciences. 2016 May 1;110:116-26.