2. Solution de référence#
2.1. Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence#
La méthode de Rayleigh appliquée à des éléments de poutre droite élancée et à un élément de poutre courbe mince permet de déterminer des paramètres tels que :
flexion dans le plan: \({f}_{i}=\frac{{\lambda}_{i}^{2}}{2\pi {R}^{2}}\sqrt{\frac{E{I}_{z}}{\rho A}}\) \(i=1,2\) ;
flexion transverse: \({f}_{i}=\frac{{\mu}_{i}^{2}}{2\pi {R}^{2}}\sqrt{\frac{G{I}_{p}}{\rho A}}\) \(i=1,2\) ;
Les valeurs \({\lambda}_{i}^{2}\) et \({\mu}_{i}^{2}\) sont tirées d’un abaque issu de [bib2].
Fig. 2.1 Abaques issues de [bib2] pour les valeurs de \(\lambda_i\) et \(\mu_i\)#
Dans les modélisations présentées, le rapport \(\frac{L}{R}\) vaut \(0\), \(0.6\) ou \(2\). Les valeurs prises dans [bib1] sont :
- Pour \(\frac{L}{R} = 0\) :
\(\lambda_1^2 = 22.5\) ;
\(\lambda_2^2 = 43\) ;
\(\mu_1^2 = 9.5\) ;
\(\mu_2^2 = 26.9\) ;
- Pour \(\frac{L}{R} = 0.6\) :
\(\lambda_1^2 = 17.8\) ;
\(\lambda_2^2 = 34\) ;
\(\mu_1^2 = 7.2\) ;
\(\mu_2^2 = 21.5\) ;
- Pour \(\frac{L}{R} = 2\) :
\(\lambda_1^2 = 4.8\) ;
\(\lambda_2^2 = 5.1\) ;
\(\mu_1^2 = 3.85\) ;
\(\mu_2^2 = 5.3\) ;
Cette formulation n’est utilisable que pour les tuyauteries très élancées:
Élancement des parties droites supérieur à \(\frac{l}{{d}_{e}}>20\)
Coude mince tel que \(\alpha R>100\sqrt{\frac{{I}_{z}}{A}}\) avec \(\alpha\) , angle au centre en radian.
De plus, les valeurs des fréquences propres pour la flexion transverse n’est valable que pour un coefficient de Poisson \(\nu = 0.3\) d’après [bib2].
Note
Il n’est pas nécessaire d’utiliser ici un coefficient de flexibilité du coude. Le coefficient de flexibilité issu du RCC-M vaut \(\max(1 ; 1.65 \frac{r_m^2}{e R})\) où \(r_m\) est le rayon moyen de la section du coude, \(e\) son épaisseur et \(R\) le rayon de courbure, qui vaut \(1\) dans le présent cas.
2.2. Résultats de référence#
Quatre premières fréquences propres ;
Quatre premiers modes propres (2 modes transverses, 2 modes dans le plan).
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\(44.23\mathrm{Hz}\) |
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\(119\mathrm{Hz}\) |
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\(125\mathrm{Hz}\) |
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\(227\mathrm{Hz}\) |
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\(33.4\mathrm{Hz}\) |
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\(94\mathrm{Hz}\) |
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\(100\mathrm{Hz}\) |
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\(180\mathrm{Hz}\) |
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\(17.9\mathrm{Hz}\) |
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\(24.8\mathrm{Hz}\) |
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\(25.3\mathrm{Hz}\) |
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\(27.0\mathrm{Hz}\) |
2.3. Incertitude sur la solution#
Les coefficients \(\lambda_i^2\) et \(\mu_i^2\) sont issus d’abaques. A ce titre, il existe une incertitude de l’ordre d’un quart de graduation environ sur leur valeur, soit en valeur absolue \(0.5\) (graduation de \(2\)).
Ceci porte l’incertitude aux valeurs suivantes :
- Pour \(\frac{L}{R} = 0\) :
\(\lambda_1^2 = 22.5 \longrightarrow 2.2\%\) ;
\(\lambda_2^2 = 43 \longrightarrow 1.2\%\) ;
\(\mu_1^2 = 9.5 \longrightarrow 5.3\%\) ;
\(\mu_2^2 = 26.9 \longrightarrow 1.9\%\) ;
- Pour \(\frac{L}{R} = 0.6\) :
\(\lambda_1^2 = 17.8 \longrightarrow 2.8\%\) ;
\(\lambda_2^2 = 34 \longrightarrow 1.5\%\) ;
\(\mu_1^2 = 7.2 \longrightarrow 7\%\) ;
\(\mu_2^2 = 21.5 \longrightarrow 2.3\%\) ;
- Pour \(\frac{L}{R} = 2\) :
\(\lambda_1^2 = 4.8 \longrightarrow 10.4\%\) ;
\(\lambda_2^2 = 5.1 \longrightarrow 9.8\%\) ;
\(\mu_1^2 = 3.85 \longrightarrow 13\%\) ;
\(\mu_2^2 = 5.3 \longrightarrow 9.4\%\) ;
Note
L’incertitude sur ces valeurs selon [bib1] est fixée à \(3\%\) sur la valeur lue sur l’abaque. Ceci ne semble pas en accord avec le fait que l’échelle soit linéaire. Ainsi, les tolérances imposées dans les tests devraient au moins être égales à ces incertitudes.