1. Problème de référence#

1.1. Géométrie#

Dans la Fig. 1.1, on montre la modélisation à une masse et deux ressorts utilisée pour la modélisation.

_images/Systeme_Masse_Ressorts.svg

Fig. 1.1 Système unidimensionnel avec une masse et deux ressorts#

1.2. Propriétés de matériaux#

Les deux ressorts représentent deux poutres avec rigidité égale à \(k=EA/L\), où :

  • \(E = 35 GPa\) est le module d’Young

  • \(A = 0.016 m^2\) est la surface de la section de la poutre

  • \(L = 4 m\) est la longueur de la poutre

La masse concentrée équivaut à \(m = 4000 t\). On recale un amortissement de Rayleigh autour de la fréquence fondamentale du système \(\omega_0=\sqrt{k_{eq}/m}\), où \(k_{eq}=2EA/L\). L’amortissement réduit est pris égal à \(\xi=0.05\).

1.3. Conditions aux limites et chargements#

On impose les conditions limites suivantes :

  • DX = DY = DZ = 0 sur les noeuds A et B

  • DY = DZ = 0 sur la masse

Les chargements imposés sont les suivants :

  • Sur le noeud A on impose un déplacement \(u_A = u_{0,A}sin(\omega_At + \alpha_A)\), où :

    • \(u_{0,A} = 2 mm\)

    • \(\omega_A = \pi\)

    • \(\alpha_A = 0\)

  • Sur le noeud B on impose un déplacement \(u_B = u_{0,B}sin(\omega_Bt + \alpha_B)\), où :

    • \(u_{0,B} = 4.5 mm\)

    • \(\omega_B = 2\pi\)

    • \(\alpha_B = 0\)

1.4. Conditions initiales#

Dans ce cas-test, on propose deux façons d’imposer le chargement :

  • Via un chargement multi-appuis en repère entraîné, dans ce cas on n’a pas besoin d’imposer des conditions initiales

  • Via deux déplacements imposés sur les noeuds A et B, dans ce cas on a besoin d’imposer les champs de vitesse et accélération initiales qui sont non nulles