3. Description de la macro-commande#

La macro-commande POST_NEWMARK permet d’obtenir une estimation du déplacement latéral irréversible d’une zone potentiellement glissante d’un ouvrage en remblai (barrage/digue) via la méthode de Newmark [bib1].

La méthode de Newmark est basée sur l’idée que la zone potentiellement glissante de l’ouvrage peut être approchée par un bloc glissant sur un plan incliné. Pendant le séisme, ce bloc glisse le long du plan incliné lorsque l’accélération moyenne (\({a}_{m}\) ) du bloc dépasse une valeur fixée, appelée accélération critique (\({a}_{y}\) ). La méthode considère que le déplacement résiduel du bloc glissant peut être obtenu en intégrant deux fois les instants de l’accélération moyenne dépassant l’accélération critique. Cette opération est réalisée de la manière suivante :

  • obtention du signal en vitesse par intégration de l’accélération moyenne dépassant l’accélération critique,

  • écrêtement du signal en vitesse à v>0 et ensuite intégration pour obtention du signal en déplacement.

A partir d’un calcul dynamique de type éléments finis, l’accélération moyenne d’une zone potentiellement glissante est définie comme le quotient de la résultante des efforts latéraux \({F}_{L}\) le long de l’interface entre la zone potentiellement glissante et le reste de l’ouvrage et la masse \(m\) de cette zone :

(3.1)#\[{a}_{m}=\frac{{F}_{L}}{m}\]

L’accélération critique est définie comme l’accélération qui mène à un facteur de sécurité de valeur 1.0 pour la zone potentiellement glissante. À partir de l’accélération critique, on défini le coefficient sismique \({k}_{y}\) en rapportant l’accélération critique à la valeur de l’accélération de la gravité \(g\) :

(3.2)#\[{k}_{y}=\frac{{a}_{y}}{g}\]

La macro-commande POST_NEWMARK accepte uniquement des maillages 2D et deux types de zones de glissement :

  • une forme simple circulaire, dont la position est fournie par l’utilisateur. Dans ce cas, la résultante des efforts latéraux est calculée à partir des mailles du maillage sur lequel le calcul dynamique a été réalisé et dont une partie appartient au cercle défini par l’utilisateur.

  • une forme définie à partir d’un maillage auxiliaire, qui doit être positionné sur le lieu géométrique de la masse qui glisse. Dans ce cas, on calcule la résultante de efforts latéraux sur les mailles correspondants au lieu géométrique du maillage auxiliaire.

Le coefficient sismique \({k}_{y}\) peut être fourni par l’utilisateur en entrée de la macro-commande, si obtenu par exemple à partir d’un calcul de stabilité pseudo-statique avec une loi de comportement non linéaire intégrant un critère de rupture, ou par une méthodologie de type analyse limite.

L’utilisateur peut également ne pas fournir le coefficient sismique \({k}_{y}\) . Dans ce cas, il est estimé à partir de l’évolution du facteur de sécurité avec l’accélération moyenne (cf. cas-test sdlp200). La régression est faite pour une plage comprise entre 0.8 et 1.2 de la valeur du facteur de sécurité, et la valeur d’accélération critique est retenue par défaut de façon conservative car à -3 écarts-type de la moyenne de la régression.

3.1. Calcul du facteur de sécurité en statique et dynamique#

La macro-commande POST_NEWMARK permet d’estimer le facteur de sécurité statique et dynamique d’une zone potentiellement glissante définie à partir :

  • d’un maillage auxiliaire définissant la zone potentiellement glissement ou directement des données fournies par l’utilisateur de la positon du cercle de glissement. Dans ce dernier cas, la macro-commande construit directement le maillage auxiliaire,

  • d’un champ de contraintes statique issue de la pesanteur.

Pour cela on utilise la définition de facteur de sécurité global \({F}_{s}^{g}\) de Kulhawy [bib2] :

(3.3)#\[{F}_{s}^{g}=\frac{\sum_{i}^{N}(c'+\sigma {'}_{n,s}\tan(\varphi '))\Delta L}{\sum_{i}^{N}{\sigma}_{t,s}.\Delta L}\]

où \(c'\) et \(\varphi '\) sont la cohésion et l’angle de frottement effectifs du matériau, \(\sigma {'}_{n,s}\) est la contrainte normale et \({\sigma}_{t}\) la contrainte tangentielle à la ligne de glissement, toutes les deux obtenues à partir d’un calcul statique de pesanteur, \(N\) la discrétisation spatiale de la ligne de glissement et \(\Delta L\) la longueur de chaque élément discrétisé.

Pour un calcul dynamique, l’estimation du facteur de sécurité prend en compte les variations des contraintes normales et tangentielles le long de la ligne de glissement, via la formule suivante :

(3.4)#\[{F}_{s}^{g}=\frac{\sum_{i}^{N}(c'+\sigma {'}_{n,s}\tan(\varphi '))\Delta L+\sum_{i}^{N}(\sigma {'}_{n,d}\tan(\varphi '))\Delta L}{\sum_{i}^{N}{\sigma}_{t,s}.\Delta L+\sum_{i}^{N}{\sigma}_{t,d}.\Delta L}\]

où \(\sigma {'}_{n,d}\) est la contrainte normale et \({\sigma}_{t,d}\) la contrainte tangentielle à la ligne de glissement pour le calcul dynamique. L’utilisateur doit donc fournir le champ de contraintes statiques issue d’une mise en pesanteur. La macro-commande réalise l’estimation du facteur de sécurité pour chaque pas de temps.

3.2. Cas-tests#

sslp119 [V3.02.119] Calcul du facteur de sécurité statique pour un remblai homogène.

zzzz402 [V1.01.402] Réponse dynamique d’un ouvrage en remblai sur séisme.

sdlp200 [V2.03.200] Comparaison de la tenue au séisme d’un remblai homogène entre POST_NEWMARK et GeoSlope

3.3. Bibliographie#

[bib1]

Newmark, N.M. 1965. Effects of earthquakes on dams and embankments. Géotechnique, 15(2): 139-160.

[bib2]

Kulhawy. F.H. 19,69. Finite element analysis of the behavior of embankments .PhD. Thesis, the Universiry of Califomia, at. Berkley, California. U,S.A.