4. Précautions et conseils d’utilisation#

4.1. Hypothèses relatives au matériau utilisé pour le calcul des déplacements#

Le calcul des facteurs d’intensité des contraintes par extrapolation des sauts de déplacement suppose de connaître les caractéristiques élastiques linéaires du matériau fissuré qui a été utilisé pour la résolution du problème mécanique (calcul du champ de déplacement). En pratique, la commande POST_K1_K2_K3 récupère automatiquement le concept matériau affecté sur un ensemble de mailles voisines du front de fissure (pour une fissure maillée ou pour X-FEM). Le matériau doit être homogène, isotrope et élastique linéaire.

Ce matériau peut être constant (utilisation de DEFI_MATERIAU/ELAS) ou fonction (utilisation de DEFI_MATERIAU/ELAS_FO). Les seules variables de commandes pouvant être utilisées pour le calcul des facteurs d’intensité des contraintes dans le cas d’un matériau fonction sont “TEMP” (température) et “NEUT1” . De pus, ces variables doivent nécessairement être affectées (dans AFFE_MATERIAU/AFFE_VARC) à partir de champs nodaux (cham_no).

Dans le cas d’un matériau fonction, les paramètres élastiques sont évalués aux points de calcul du fond de fissure:

  • pour une fissure maillée (opérande FOND_FISS renseignée) ces points sont les nœuds du fond de fissure;

  • pour une fissure X-FEM (opérande FISSURE renseignée), ces points sont soit ceux contenus dans l’objet .FONDFISS de la structure de données fiss_xfem, soit ceux s’en déduisant par l’utilisation du mot-clé NB_POINT_FOND.

4.2. Rappel sur les différentes méthodes utilisées pour l’extrapolation des sauts de déplacements [R7.02.08]#

En chaque nœud du fond de fissure, on utilise 3 méthodes (variantes) pour déterminer \({K}_{I}\) , \({K}_{\mathit{II}}\) (et \({K}_{\mathit{III}}\) en 3D).

  • Méthode 1: pour chaque nœud du segment d’interpolation, on calcule le saut du champ de déplacements au carré et on le divise par \(r\) . Différentes valeurs de \(\mathrm{K1}\) (resp. \(\mathrm{K2}\) , \(\mathrm{K3}\) ) sont obtenues (à un facteur multiplicatif près) par extrapolation en \(r=0\) des segments de droites ainsi obtenus.

  • Méthode 2: on trace le saut du champ de déplacements au carré en fonction de \(r\) . Les approximations de \(\mathrm{K1}\) sont (toujours à un facteur multiplicatif près) égales à la pente des segments reliant l’origine aux différents points de la courbe.

  • Méthode 3: régression linéaire.

En chaque nœud du fond de fissure, chaque méthode fournit une valeur MAX et une valeur MIN. En chaque nœud du fond de fissure, on a donc 6 valeurs pour \({K}_{I}\) , 6 valeurs pour \({K}_{\mathit{II}}\) et 6 valeurs pour \({K}_{\mathit{III}}\) (pour la méthode 3, les valeurs MIN et MAX coïncident). On note ces valeurs comme suit, l’exposant \(j\) correspondant au numéro de la méthode:

  • pour \({K}_{I}\) (mode \(I\) ou mode d’ouverture): \({K}_{I}^{j,\mathit{MAX}},{K}_{I}^{j,\mathit{MIN}},j=1,2,3\)

  • pour \({K}_{\mathit{II}}\) (mode \(\mathit{II}\) ou cisaillement plan): \({K}_{\mathit{II}}^{j,\mathit{MAX}},{K}_{\mathit{II}}^{j,\mathit{MIN}},j=1,2,3\)

  • et pour \({K}_{\mathit{III}}\) (mode \(\mathit{III}\) ou cisaillement anti-plan): \({K}_{\mathit{III}}^{j,\mathit{MAX}},{K}_{\mathit{III}}^{j,\mathit{MIN}},j=1,2,3\) .

4.3. Table produite#

La commande POST_K1_K2_K3 produit un concept de type table. La table peut être imprimée par IMPR_TABLE [U4.91.03]. Elle contient pour chaque nœud du fond de fissure:

  • les valeurs des facteurs d’intensité de contrainte correspondant: K1, K2 (et K3 si 3D)

  • la valeur du taux de restitution d’énergie: \(G\)

  • des estimations de l’erreur sur les facteurs d’intensité de contrainte: ERR_K1, ERR_K2 (et ERR_K3 si 3D).

Les paragraphes suivants détaillent ces grandeurs.

4.3.1. Valeurs des facteurs d’intensité des contraintes#

La table produite contient, pour chaque nœud (ou point) du fond de fissure, les valeurs des facteurs d’intensité de contrainte correspondant aux valeurs MAX de la méthode n°1 (voir § 4.2 ):

\(\mathit{K1}\) (\(\text{}={K}_{I}^{1,\mathit{MAX}}\) ), \(\mathit{K2}\) (\(\text{}={K}_{\mathit{II}}^{1,\mathit{MAX}}\) )

En 3D, on a en plus \(\mathit{K3}\) (\(\text{}={K}_{\mathit{III}}^{1,\mathit{MAX}}\) )

On imprime donc une seule valeur de \(\mathit{K1}\) , \(\mathit{K2}\) (et \(\mathit{K3}\) si 3D) par nœud du fond de fissure.

4.3.2. Valeurs du taux de restitution d’énergie#

La table produite contient, pour chaque nœud (ou point) du fond de fissure, la valeur du taux de restitution de l’énergie \(G\) calculé à partir des facteurs d’intensité des contraintes par la formule d’Irwin.

4.3.3. Estimation de l’erreur commise sur les facteurs d’intensité des contraintes#

Afin d’évaluer l’erreur commise sur les facteurs d’intensité des contraintes en chaque nœud du fond, on évalue l’écart entre les 6 valeurs données par les 3 méthodes (voir § 4.2 ). Cela donne un écart absolu concernant \(\mathit{K1}\) , \(\mathit{K2}\) (et \(\mathit{K3}\) si 3D). Pour obtenir un écart relatif plus facile à interpréter, on normalise les écarts absolus par une valeur \(K\) qui est la valeur maximale de tous les \(K\) en ce nœud du fond de fissure.

Plus précisément, l’erreur commise sur \({K}_{i}(i=1,2,3)\) , \(i\) étant le mode de sollicitation de la fissure et \(j\) le numéro de la méthode , est définie de la manière suivante:

\(\mathit{erreur}({K}_{i})=\frac{\underset{j=1,2,3}{max}({K}_{i}^{j,\mathit{MAX}}-{K}_{i}^{j,\mathit{MIN}})}{K}\) , avec \(K=\underset{j=1,2,3}{max}({K}_{I}^{j,\mathit{MAX}},{K}_{\mathit{II}}^{j,\mathit{MAX}},{K}_{\mathit{III}}^{j,\mathit{MAX}})\)

Les erreurs sur \(\mathit{K1}\) , \(\mathit{K2}\) (et \(\mathit{K3}\) si 3D) sont imprimées dans la table: ERR_K1, ERR_K2 (et ERR_K3 si 3d) pour chaque nœud du fond de fissure.

4.4. Impressions supplémentaires#

Si INFO vaut 2, tous les calculs intermédiaires sont affichés dans le fichier message. On signale que la colonne intitulée SAUT_DX (resp. SAUT_DY et SAUT_DZ) dans les tableaux du fichier message correspond au saut de déplacement suivant l’axe \(\mathit{X1}\) (respectivement \(\mathit{X2}\) et \(\mathit{X3}\) ), multiplié par un coefficient dépendant du matériau, le tout au carré [R7.02.08].

4.5. Précautions et conseils#

Les hypothèses nécessaires à la validité de cette méthode sont :

  1. la fissure doit être suffisamment régulière (soit le fond et les lèvres ne présentent pas de singularité géométrique) ;

  2. le comportement doit être élastique, linéaire, isotrope et homogène ;

  3. la structure doit être isotherme (ou, a minima, les gradients de température sur les lèvres peuvent être négligés dans la zone d’interpolation).

La méthode utilisée est théoriquement moins précise et plus sensible au maillage que la méthode des déplacements singuliers [R7.02.05]. De manière générale, on peut conseiller de comparer dans les études les résultats de POST_K1_K2_K3 et ceux de CALC_G [U4.82.03], ce qui est un bon indicateur de la qualité du résultat obtenu.

Conseils dans le cas fissure maillée : le maillage doit être de préférence quadratique et comporter suffisamment de nœuds perpendiculairement au fond de fissure. D’autre part, les résultats sont nettement améliorés si, dans le cas où le maillage est composé d’éléments quadratiques, on déplace les nœuds milieux (des arêtes qui touchent le fond de fissure), au quart de ces arêtes en les rapprochant du fond de fissure. Ceci est rendu possible par le mot clé MODI_MAILLE (option “NOEUD_QUART”) de la commande MODI_MAILLAGE [U4.23.04].

Le calcul par interpolation des sauts de déplacement nécessite d’avoir au moins 3 nœuds sur la normale au fond de fissure. Si le nombre de nœuds n’est pas suffisant, une alarme est émise et les lignes correspondantes à ce nœud du fond sont mises à 0 dans le tableau résultat. Le calcul se poursuit ensuite, le cas échéant, pour le nœud suivant du fond de fissure. On peut dans ce cas :

  • soit augmenter l’abscisse curviligne maximale ABSC_CURV_MAXI pour aller chercher des nœuds plus éloignés du fond de fissure ;

  • soit augmenter le paramètre PREC_VIS_A_VIS (et éventuellement PREC_NORM dans DEFI_FOND_FISS), ce qui revient à être moins exigeant dans la sélection des nœuds pour le calcul.

Conseils dans le cas fissure non maillée : la précision de la méthode est sensible au choix de la zone d’enrichissement de la méthode X-FEM (paramètre RAYON_ENRI de DEFI_FISS_XFEM). Dans l’idéal, le rayon d’enrichissement et l’abscisse curviligne maximale ABSC_CURV_MAXI sont de l’ordre de trois fois la taille de l’arête minimale du maillage.

Les calculs sont possibles sur une fissure non plane, mais l’utilisateur doit veiller à ce qu’elle reste suffisamment régulière pour que les hypothèses de calcul soient valides : il ne faut pas avoir une singularité géométrique sur le fond ou sur les lèvres. Typiquement, le calcul est licite pour une fissure axisymétrique, mais pas pour un coin.

Le calcul par interpolation des sauts de déplacement nécessite d’avoir au moins 3 nœuds sur la normale au fond de fissure. Le nombre de points d’interpolation est normalement égal à NB_NOEUD_COUPE mais peut être inférieur dans un cas :

    • si la géométrie du fond et de la structure est telle qu’une partie des points d’interpolation sort de la matière. Il faut dans ce cas réduire ABSC_CURV_MAXI (tout en restant cohérent avec la finesse du maillage) et / ou augmenter NB_NOEUD_COUPE.

Les calculs sont assez consommateurs en temps et en mémoire s’il y a beaucoup de points sur le fond de fissure. L’utilisation du mot clé NB_POINT_FOND permet de limiter le post-traitement à un certain nombre de points équi-répartis le long du fond (par exemple une vingtaine de points est souvent suffisante).