5. Traitement des résultats modaux#

Dans ce cas, la commande prend en entrée les modes dynamiques de la structure (conceptmode_meca). Les opérations réalisées sont les suivantes :

  1. Calcul des torseurs modaux.

  1. Calcul des réponses mode par mode à partir des modes et des spectres.

  2. Combinaison des réponses modales par la méthode CQC (signée ou non) : cela fournit la réponse maximale probable pour chaque direction de séisme \(X\) , \(Y\) , \(Z\) (dans le système global).

  1. Si demandé, combinaisondes réponses direction par direction (Newmark ou combinaison quadratique)

L’opération 1 ) est réalisée comme décrit dans la section 4 , et ça mode par mode.

Les opérations 2 - 4 sont détaillées dans la suite.

On considère des spectres en mono-appui : les appuis voient tous le même déplacement imposé.

5.1. Calcul de la réponse d’oscillateur#

5.1.1. Rappels de calcul transitoire sur base modale#

La structure étudiée est représentée par son spectre de modes propres réels à basse fréquence \(\mathrm{\phi }\) en base encastrée, solution de \(\left(K-M{\omega}^{2}\right)\mathrm{\phi }=0\) .

Dans l’équation dynamique du système on peut introduire une nouvelle transformation \(x=\mathrm{\phi }q\) , le système s’écrit alors, en utilisant la matrice de facteurs de participation modaux \(P\) :

(5.1)#\[\ddot{q}+\frac{{\mathrm{\phi }}^{T}C\mathrm{\phi }}{{\mathrm{\phi }}^{T}M\mathrm{\phi }}\dot{q}+{\omega}^{2}q=-\frac{{\mathrm{\phi }}^{T}MO}{{\mathrm{\phi }}^{T}M\mathrm{\phi }}\ddot{s}=-P\ddot{s}\]

où \(\mathrm{O}\) sont les modes de corps rigide.

On suppose aussi que pour des études industrielles relevant de l’analyse sismique par méthode spectrale, on se limite au cas de l’amortissement proportionnel, dit de Rayleigh, pour lequel on peut diagonaliser le terme \(\frac{{\mathrm{\phi }}^{T}C\mathrm{\phi }}{{\mathrm{\phi }}^{T}M\mathrm{\phi }}=2\xi \omega ` . L'amortissement est alors représenté par un amortissement modal :math:`{\xi}_{i}\) éventuellement différent pour chaque mode propre.

Avec ces hypothèses, le système d’équations () est composé d’équations indépendantes, chacune relative à un mode propre de pulsation \({\omega}_{i}\) . Chaque équation décrit le comportement d’un oscillateur simple de paramètres \(({\omega}_{i},{\xi}_{i})\) dont le comportement est représenté en mono-appui par :

(5.2)#\[\ddot{{q}_{i}}+2{\xi}_{i}{\omega}_{i}\dot{{q}_{i}}+{\omega}^{2}{q}_{i}=-{p}_{i}\ddot{s}\]

où \(\ddot{s}\) estl’accélération d’entraînement et \({p}_{i}\) le facteur de participation modal du mode \(i\) :

(5.3)#\[{p}_{i}=\frac{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}MO}{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}M{\mathrm{\phi }}_{i}}=\frac{{{\mathrm{\phi }}_{i}}^{T}MO}{{\mu}_{i}}\]

où \({\mu}_{i}\) est la masse modale généralisée, qui dépend de la normalisation du mode propre.

Supposonsque le séisme agit seulementdans une des trois directions du repère global \(X,Y,Z\) : si par exemple on le prend dans la direction \(X\) , le vecteur \(O\) aura des \(1\) pour les degrés de liberté DX et et \(0\) pour les autres. Toujours par exemple dans la direction \(X\) on aura alors:

(5.4)#\[{p}_{\mathit{iX}}=\frac{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}MO}{{\mathrm{\phi }}_{i}^{T}M{\mathrm{\phi }}_{i}}=\frac{{{\mathrm{\phi }}_{i}}^{T}M{O}_{X}}{{\mu}_{i}}\]

\({p}_{\mathit{iX}}\) étant appelé facteur de participation modal en direction \(X\) . Pour plus de détails sur l’analyse transitoire sur base modale voir la documentation R4.05.01.

5.1.2. Rappels de la méthode spectrale#

La réponse maximale en déplacement relatif de l’oscillateur de paramètres \(({\omega}_{i},{\xi}_{i})\) pour une direction \(X\) est déterminée en lisant sur un spectre d’oscillateur de pseudo-accélération absolue \(\mathit{SRO}(\ddot{{x}_{X}}({\xi}_{i},{\omega}_{i}))\) la valeur \({a}_{\mathit{iX}}\) qui correspond aux coupes \(({\omega}_{i},{\xi}_{i})\) et en divisant par \({\omega}_{i}^{2}\) , d’où :

(5.5)#\[{q}_{\mathit{iXmax}}={p}_{\mathit{iX}}\frac{\mathit{SRO}({\ddot{x}}_{X}({\xi}_{i},{\omega}_{i}))}{{\omega}_{i}^{2}}={p}_{\mathit{iX}}\frac{{a}_{\mathit{iX}}}{{\omega}_{i}^{2}}\]

On rappelle qu’on posé \(x=\mathrm{\phi }q\) donc \({x}_{i}={q}_{i}{\mathrm{\phi }}_{i}\) si on considère un seul mode. La contribution \({x}_{\mathit{iXmax}}\) de cet oscillateur au déplacement relatif de la structure pour un séisme en direction \(X\) dépend du facteur de participation et de la déformée modale \({\mathrm{\phi }}_{i}\) dans l’espace physique:

(5.6)#\[{x}_{\mathit{iXmax}}={\mathrm{\phi }}_{i}{q}_{\mathit{iXmax}}={\mathrm{\phi }}_{i}{p}_{\mathit{iX}}\frac{{a}_{\mathit{iX}}}{{\omega}_{i}^{2}}\]

Supposons d’avoir \({r}_{i}\) , une quantité (champ ou variable scalaire) dérivée par une application linéaire des modes \({\mathrm{\phi }}_{i}\) , par exemple une composanted’efforts sur un nœud. La contribution \({r}_{\mathit{iXmax}}\) où \({R}_{\mathit{iX}}\) de cet oscillateur à la réponse de la structure pour un séisme s’écrit également:

(5.7)#\[{R}_{\mathit{iX}}={r}_{\mathit{iXmax}}={r}_{i}{q}_{\mathit{iXmax}}={r}_{i}{p}_{\mathit{iX}}\frac{{a}_{\mathit{iX}}}{{\omega}_{i}^{2}}\]

Dans le cas de la commande CALC_COUPURE, les composantes \({r}_{i}\) sont:

  • les composantes d’effort de coque \(\mathit{NXX}\) , \(\mathit{NYY}\) , \(\mathit{NXY}\) , etc. sur un point de la ligne de coupe AB

  • les résultantes / moments résultants sur la ligne de coupe AB, détaillées dans la section Error: Reference source not found

Pour plus de détails voir la documentation R4.05.03.

5.1.3. Combinaison des modes pour une direction#

La première combinaison modale réalisée produit la réponse maximale probable dans les directions \(X,Y,Z\) pour lesquelles on aura fourni les spectres en entrée de la commande.

La méthode utilisée est la Combinaison Quadratique Complète signée (ou CQC signée), en mono-appui. Les efforts \({R}_{\mathit{iX}}\) (composante scalaire sur un nœud ou sur une résultante) se combinent donc de la manière suivante pour donner la réponse \({R}_{\mathit{mX}}\) :

(5.8)#\[{R}_{\mathit{mX}}=\frac{{R}_{\mathit{kX}}}{\left|{R}_{\mathit{kX}}\right|}\sqrt{{\sum}_{j}{\sum}_{j}{\rho}_{ij}{R}_{\mathit{iX}}{R}_{\mathit{jX}}}\]

Les sommes se réalisent sur les \(N\) modes considérés. On définit le coefficient de corrélation entre modes \({\rho}_{ij}\) :

(5.9)#\[{\rho}_{ij}=\frac{8\sqrt{{\xi}_{i}{\xi}_{j}{\omega}_{i}{\omega}_{j}}({\xi}_{i}{\omega}_{i}+{\xi}_{j}{\omega}_{j}){\omega}_{i}{\omega}_{j}}{{({\omega}_{i}^{2}-{\omega}_{j}^{2})}^{2}+4{\xi}_{i}{\xi}_{j}{\omega}_{i}{\omega}_{j}({\omega}_{i}^{2}+{\omega}_{j}^{2})+4({\xi}_{i}^{2}+{\xi}_{j}^{2}){\omega}_{i}^{2}{\omega}_{j}^{2}}\]

ou, en introduisant le rapport de pulsation ou de fréquences entre deux modes \(\eta ={\omega}_{j}/{\omega}_{i}\) :

(5.10)#\[{\rho}_{ij}=\frac{8\eta \sqrt{{\xi}_{i}{\xi}_{j}\eta }({\xi}_{i}+{\xi}_{j}\eta )}{{(1-{\eta}^{2})}^{2}+4\eta {\xi}_{i}{\xi}_{j}(1+{\eta}^{2})+4{\eta}^{2}({\xi}_{i}^{2}+{\xi}_{j}^{2})}\]

Pour plus de détails voir la documentation R4.05.03.

5.1.4. Combinaison des directions#

5.1.4.1. Combinaisons de Newmark#

Pour chacune des directions \(X,Y,Z\) , on choisit une direction principale et on calcule les huit valeurs suivantes. Par exemple, pour la \(X\) :

(5.11)#\[{R}_{l}=\pm {R}_{\mathit{mX}}\pm 0,4{R}_{\mathit{mY}}\pm 0,4{R}_{\mathit{mZ}}\]

On obtient alors 24 combinaisons. Ces combinaisons sont identifiées dans le tableau en sortie de la commande.

5.1.4.2. Combinaison quadratique#

On calcule la combinaison quadratique des contributions de chaque direction:

(5.12)#\[R=\sqrt{{R}_{\mathit{mX}}^{2}+{R}_{\mathit{mY}}^{2}+{R}_{\mathit{mZ}}^{2}}\]

Le tableau en sortie contient 4 numéro d’ordre: 1, 2 et 3 correspondant aux contributions du séisme dans les direction X, Y et Z, respectivement. Le numéro d’ordre 4 correspond quant à lui à la combinaison quadratique des contributions des 3 directions.

{R}_{m}=max({R}_{l})