1. But et description#

L’objectif de cette macro-commande est de constuire une formule permettant d’appliquer des champs de pression aux parois des grands réservoirs dans le cadre d’une vérification sismique par calcul mécanique équivalent selon l’Eurocode 8.

1.1. Pression totale#

L’équation (1.1) donne l’expression de cette pression totale :

(1.1)#\[P_{totale} = P_{hydro} + \text{sign}(\cos(\theta)) \sqrt{\bigl(\left(P_{ir}+P_{if}\right)^2+P_{c1}^2\bigr)} \pm 0.4 \left(P_{vr} + P_{vf} \right) + P_{slib}\]

où \(\theta\) est l’azimut du point d’application de la pression.

Selon la combinaison de Newmark choisie \(\pm\) devient \(+\), c’est la combinaison « PC+ », ou \(-\), c’est la combinaison « PC- » du mot-clé NEWMARK.

1.2. Pression hydrostatique \(P_{hydro}\)#

La pression hydrostatique est donnée par :

(1.2)#\[P_{hydro} = \rho_l g \left( H-z\right)\]

où \(\rho_l\) est la masse volumique de l’eau, \(g\) est l’accélération de la pesanteur, \(H\) la hauteur d’eau dans le réservoir et \(z\) la distance du point au fond du réservoir.

1.3. Pression implusive rigide \(P_{ir}\)#

La pression implusive rigide est donnée par :

(1.3)#\[P_{ir} = c_0(z)\rho_l H ZPA_h \cos(\theta)\]

où \(ZPA_h\) est l’accélaration à période nulle lue sur le spectre d’entrée dans une des directions horizontales et

(1.4)#\[c_0(z) = \frac{8}{\pi^2} \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \varepsilon_n \cos \Bigl( (2n+1) \frac{\pi}{2} \frac{z}{H} \Bigr)\]

avec

(1.5)#\[\varepsilon_n = \frac{I_1\biggl[(2n+1)\frac{\pi}{2} \frac{R}{H} \biggr]} { I'_1\biggl[(2n+1)\frac{\pi}{2} \frac{R}{H} \biggr] }\]

\(I_1\) designe la fonction de Bessel modifiée du premier ordre et \(I'_1\) sa dérivée première. \(R\) est le rayon du réservoir.

Lors de la construction de la formule on se limite aux 20 premiers termes dans l’expression de \(c_0\).

1.4. Pression implusive flexible \(P_{if}\)#

La pression implusive flexible est donnée par :

(1.6)#\[P_{if} = \rho_l H \cos(\theta) \Psi(z) \sum^{\infty}_{n=0} d_n \cos\biggl((2n+1) \frac{\pi}{2} \frac{z}{H} \biggr) \left(Sa(f_{hfh})-ZPA_h\right)\]

où \(Sa(f_{hfh})\) est l’accélération lue sur le spectre d’entrée dans une des directions horizontales à la fréquence impulsive de mode n (spectre à 4%) et

\[\Psi(z) = \frac {\int_{0}^{H} \sin\biggl(\frac{z\pi}{2H}\biggr) \Biggl[\frac{\rho_s t(z)}{\rho_l H} + \sum^{\infty}_{n=0} b'_n \cos\biggl((2n+1) \frac{z\pi}{2H} \biggr) \Biggr]dz } {\int_{0}^{H} \sin\biggl(\frac{z\pi}{2H}\biggr) \Biggl[\frac{\rho_s t(z)}{\rho_l H} \sin\biggl(\frac{z\pi}{2H}\biggr) + \sum^{\infty}_{n=0} d_n \cos\biggl((2n+1) \frac{z\pi}{2H} \biggr) \Biggr]dz }\]

avec \(\rho_s\) la masse volumique de l’acier, \(t\) l’épaisseur de la virole au point d’application et

\[b'_n = \frac{8}{\pi^2} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \varepsilon_n\]
\[d_n = \frac{4}{\pi} \frac{ \frac{1}{H} \int_{0}^{H} \sin\biggl(\frac{z\pi}{2H}\biggr) \cos\biggl((2n+1) \frac{z\pi}{2H} \biggr) dz } {2n+1} \varepsilon_n\]

Pour la somme infinie de (1.6), on se limite au premier terme (donc premier mode impulsif) qui est prépondérant.

1.5. Pression convective \(P_{c1}\)#

La pression convective est donnée par :

(1.7)#\[P_{c1} = 0.837 \rho_l R \cos(\theta) \frac{\cosh \biggl(\frac{1.841z}{R} \biggr) }{\cosh \biggl(\frac{1.841H}{R} \biggr) } Sa(f_{c1})\]

où \(Sa(f_{c1})\) est l’accélération lue sur le spectre d’entrée dans une des directions horizontales à la fréquence convective de mode 1 (prendre le spectre à 0.5%).

1.6. Pression verticale rigide \(P_{vr}\)#

La pression verticale rigide est donnée par :

(1.8)#\[P_{vr} = \rho_l ZPA_v (H-z)\]

où \(ZPA_v\) désigne l’accélération à période nulle de spectre d’entrée dans la direction verticale.

1.7. Pression verticale flexible \(P_{vf}\)#

La pression verticale rigide est donnée par :

(1.9)#\[P_{vf} = 0.815 f \rho_l H \cos\biggl(\frac{z\pi}{2H}\biggr) \Bigl( Sa(f_{vf}) - ZPA_v \Bigr) ZPA_v\]

avec :

\[f = 1.078 + 0.274 \ln \biggl(\frac{H}{R}\biggr) \text{ si } 0.8< \frac{H}{R}\]
\[f = 1 \text{ sinon}\]

\(Sa(f_{vf})\) désigne l’accélération lue sur le spectre d’entrée dans la direction verticale à la fréquence impulsive verticale (spectre à 4%).

1.8. Pression à la surface libre \(P_{slib}\)#

Cette pression est directement fournie par l’utilisateur et vient s’ajouter à la pression totale. Elle représente la pression au dessus de la hauteur d’eau. Pour un point de la virole situé au dessus de la hauteur d’eau, la pression totale est égale à la pression à la surface libre.

1.9. Calcul des pressions sur le fond du réservoir#

Soit \(r\) le rayon en coordonnées cylindrique du point d’application de la pression. Les pressions hydrostatiques et verticales n’ont pas de dépendance à \(r\).

1.9.1. Adaptation de la pression impulsive rigide#

Pour prendre en compte le rayon \(r\) inférieur à au rayon \(R\) du réservoir sur le fond, on modifie l’expression de \(\varepsilon_n\) (présent dans l’équation (1.4)) en \(\varepsilon_n(r)\). (1.5) devient alors :

(1.10)#\[\varepsilon_n({\color{red}{r}}) = \frac{I_1\biggl[(2n+1)\frac{\pi}{2} \frac{\color{red}{r}}{H} \biggr]} { I'_1\biggl[(2n+1)\frac{\pi}{2} \frac{R}{H} \biggr] }\]

1.9.2. Adaptation de la pression impulsive flexible#

La prise en compte du rayon du point d’application est faite en postulant une dépendance linéaire. On ajoute donc le facteur \(r/R\) à l’équation (1.6), ce qui donne :

(1.11)#\[P^{r}_{if}(r) = \frac{r}{R} P_{if}\]

1.9.3. Adaptation de la pression convective#

La prise en compte du rayon du point d’application est faite par ajout d’un facteur utilisant la première fonction de Bessel \(J_1\) . L’équation (1.7) devient dans ce cas :

(1.12)#\[P_{c1} = 0.837 \rho_l R \cos(\theta) \frac{\cosh \biggl(\frac{1.841z}{R} \biggr) }{\cosh \biggl(\frac{1.841H}{R} \biggr) } Sa(f_{c1}) {\color{red}\frac{J_1 \bigl(1.841\frac{ r}{R} \bigr) }{J_1(1.841)}}\]

1.9.4. Fonds non plats#

L’utilisation de la formule créée sur un réservoir à fond non plat n’est pas interdite mais aucune prise en compte spécifique n’a été apportée ni aucune validation de ce type d’usage.

1.10. Utilisation de la formule produite#

La formule créée a pour finalité d’être fournie à AFFE_CHAR_MECA/FORCE_COQUE_FO. Il faut alors fournir un CARA_ELEM pour l’épaisseur et un CHAM_MATER pour la masse volumique du matériau constituant le réservoir. Cette formule peut également être évaluée directement à des fins de tests ou vérifications. Il faut alors appeler la formule avec 5 paramètres, tout d’abord les 3 coordonnées du point d’application, puis l’épaisseur du réservoir en ce point et enfin la masse volumique du matériau en ce point.

La formule produira un message d’erreur si :

  • la coordonnée \(z\) du point à évaluer est inférieure à Z_FOND (voir Opérandes)

  • le rayon \(r\) du point à évaluer est supérieur de plus de 1% à RAYON.

Dans les autres cas, un résultat sera obtenu, l’utilisateur doit donc s’assurer que son maillage correspond bien à la géométrie du réservoir défini.

En pratique, on utilise dans tout les cas les formules adaptées pour le fond, car on ne sait pas à priori si le point à évaluer appartient aux viroles ou au fond du réservoir. Mais cela revient au même quand \(r\) est égal ou très proche de \(R\).