2. Rappel théorique#
Cette technique de modification structurale est basée sur la méthode de sous-structuration. La première sous-structure correspond à la structure initiale et la deuxième sous-structure correspond à la modification apportée.
La structure initiale est modélisée à partir de ses modes propres identifiés expérimentalement. Sauf cas très particulier, les points de mesure ne se situent pas au niveau de l’interface entre la structure initiale et la modification à apporter. Avant d’effectuer le couplage entre ces deux sous-structures, il est donc nécessaire de passer par une étape intermédiaire qui consiste à condenser les informations mesurées aux interfaces.
Les différents modèles qui interviennent lors de ce calcul sont : le modèle « mesure », le modèle « support » et le modèle « modification ». Nous décrirons ci-après ces différents modèles.
Pour simplifier la présentation, nous adoptons les notations suivantes:
l’indice \(\mathit{mes}\) est relatif aux points de mesure,
l’indice \(int\) est relatif aux nœuds interfaces,
l’exposant « + » indique l’inverse généralisé d’une matrice,
\(L\) : matrice de localisation (matrice d’observabilité),
\(y\) : champ de déplacement,
\(\Phi\) : matrice constituée des vecteurs de base d’expansion définis sur le modèle support,
\({\eta}_{\sup}\) : coordonnées généralisées associées à la base d’expansion \(\Phi\)
\(\psi\) : matrice modale identifiée (déformées propres) sur la structure initiale,
\({\eta}_{\mathrm{test}}\) : coordonnées généralisées associées à \(\psi\)
2.1. Le modèle « mesure »#
Nous appelons modèle « mesure » le modèle modal de la structure initiale obtenu à partir des informations mesurées. Sur ce modèle est défini un maillage constitué des points de mesure.
Un champ de déplacement mesuré peut se projeter sur une base composée des modes propres identifiés, soit :
\({y}_{\mathrm{mes}}=\psi {\eta}_{\mathrm{test}}\) (1)
On se limite au cas de structures peu amortie (pour lesquelles l’amortissement peut être modélisé mode par mode), pour lesquelles le modèle modal de la structure initiale s’écrit:
\(\left\lbrace -{\omega}^{2}[\mathrm{Id}]+j\omega [{\beta}_{\mathrm{test}}]+[{\Omega}_{\mathrm{test}}^{2}]\right\rbrace {\eta}_{\mathrm{test}}={f}_{{\eta}_{\mathrm{test}}}\) (2)
Où :
\([\mathrm{Id}]\) |
: |
matrice identité |
\([{\Omega}_{\mathrm{test}}^{2}]\) |
: |
matrice spectrale (matrice diagonale dont les termes diagonaux sont les pulsations propres élevées au carrée) |
\([{\beta}_{\mathrm{test}}]\) |
: |
matrice des amortissements généralisés |
\({f}_{{\eta}_{\mathrm{test}}}\) |
: |
chargement modal |
\(\omega\) |
: |
pulsation d’excitation |
2.2. Le modèle « support »#
Nous appelons modèle « support », le modèle numérique simplifié de la structure initiale.
Ce modèle doit comporter les interfaces entre la structure initiale et la modification. Il sert à l’expansion et à la condensation des informations mesurées aux interfaces.
L’expansion consiste à trouver un champ défini sur ce modèle support, dont la restriction sur les points de mesure est le plus proche possible du champ mesuré expérimentalement. Ce champ est obtenu en minimisant la distance entre les informations mesurées et les informations estimées sur le modèle support.
Le champ de déplacement estimé \({\tilde{y}}_{\mathrm{mes}}\) aux points de mesure est donné par la relation suivante:
\({\tilde{y}}_{\mathrm{mes}}={L}_{\mathrm{mes}}\Phi {\eta}_{\sup}\) (3)
Le champ estimé \({\tilde{y}}_{\mathrm{mes}}\) est du même type que le champ mesuré \({y}_{\mathrm{mes}}\) .
Les coordonnées généralisées \({\eta}_{\sup}\) , inconnues, sont obtenues en minimisant la distance entre le champ mesuré et le champ estimé. En utilisant la technique des moindres carrés, on obtient:
\({\eta}_{\sup}={({L}_{\mathrm{mes}}\Phi )}^{+}{y}_{\mathrm{mes}}\) (4)
On peut ainsi estimer le champ \(\tilde{y}\) défini aux nœuds du modèle support, cohérent au champ mesuré expérimentalement.
\(\tilde{y}=\Phi {\eta}_{\sup}=\Phi {({L}_{\mathrm{mes}}\Phi )}^{+}{y}_{\mathrm{mes}}\) (5)
La restriction de ce champ aux degrés de liberté interfaces est:
\({\tilde{y}}_{int}={L}_{int}\tilde{y}={L}_{int}\Phi {({L}_{\mathrm{mes}}\Phi )}^{+}{y}_{\mathrm{mes}}={T}_{\mathrm{It}}{y}_{\mathrm{mes}}\) (6)
\({T}_{\mathrm{it}}\) peut être définie comme étant la matrice de passage entre les points de mesure et l’interface entre la structure initiale et la modification.
En remplaçant le champ mesuré \({y}_{\mathrm{mes}}\) par son expression (1), on obtient :
\({\tilde{y}}_{int}={T}_{\mathrm{It}}{y}_{int}={T}_{\mathrm{It}}\Psi {\eta}_{\mathrm{test}}\) (7)
Soit:
\({\eta}_{\mathrm{test}}={({T}_{\mathrm{It}}\Psi )}^{+}{\tilde{y}}_{int}\) (8)
Si on note : \(B={({T}_{\mathrm{It}}\Psi )}^{+}\) , on obtient :
\({\eta}_{\mathrm{test}}=B{\tilde{y}}_{int}\) (9)
En multipliant l’équation (2) à gauche par \({B}^{T}\) , et en remplaçant \({\eta}_{\mathrm{test}}\) par son expression (9), la rigidité dynamique \({\stackrel{ˆ}{Z}}_{\mathrm{test}}\) de la structure initiale est donnée par la relation suivante:
\(\left\lbrace -{\omega}^{2}{B}^{T}B+j\omega {B}^{T}[{\beta}_{\mathrm{test}}]B+{B}^{T}[{\Omega}_{\mathrm{test}}^{2}]B\right\rbrace {\tilde{y}}_{int}={\stackrel{ˆ}{Z}}_{\mathrm{test}}{\tilde{y}}_{int}={f}_{int}^{I}\) (10)
Avec : \({f}_{int}^{I}\) : force appliquée à l’interface
2.3. Le modèle « modification »#
Nous appelons modèle « modification », le modèle numérique de la modification apportée à la structure initiale.
Si on note \({Z}_{x}\) , sa rigidité dynamique, en partitionnant les inconnues en degrés de liberté internes \({y}_{i}\) et degrés de liberté externes \({y}_{e}\) (qui sont composés de degré de liberté interface), le modèle de la modification peut être ré-écrit de la façon suivante:
\({Z}_{x}q=\left[\begin{array}{cc}{Z}_{ii}& {Z}_{\mathrm{ie}}\\ {Z}_{\mathrm{ei}}& {Z}_{\mathrm{ee}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_{i}\\ {y}_{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{i}^{M}\\ {f}_{e}^{M}+{f}_{\mathrm{eext}}^{M}\end{array}\right]\) (11)
L’indice \(i\) est relatif aux degrés de liberté internes, l’indice \(e\) est relatif aux degrés de liberté externes et \({f}_{\mathrm{eext}}^{M}\) désigne la force extérieure appliquée aux degrés de liberté externes.
2.4. Couplage des deux sous-structures#
La rigidité dynamique du modèle couplé est obtenue en considérant la continuité des déplacements aux interfaces :
\({\tilde{y}}_{int}={y}_{e}\) (12)
et l’équilibre des efforts aux interfaces :
\({f}_{int}^{I}+{f}_{e}^{M}=0\) (13)
Soit : \(\left[\begin{array}{cc}{Z}_{ii}& {Z}_{\mathrm{ie}}\\ {Z}_{\mathrm{ei}}& {Z}_{\mathrm{ee}}+{\stackrel{ˆ}{Z}}_{\mathrm{test}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_{i}\\ {y}_{e}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{i}^{M}\\ {f}_{\mathrm{eext}}^{M}\end{array}\right]\) (14)
La résolution de ce système permet de calculer le comportement de la structure modifiée.
Remarque: en section 4 , les équations de compatibilité à l’interface sont écrite en base modale, c’est-à-dire que les équations (12) et (13) ne sont pas vérifiées exactement: elles sont projetées sur le sou-espace composé de la base des modes étendus de la structures:
\({\Phi}^{T}{\tilde{y}}_{int}={\Phi}^{T}{y}_{e}\) (15)
\({\Phi}^{T}{f}_{int}^{I}+{\Phi}^{T}{f}_{e}^{M}=0\) (16)
Étant donné qu’il y a en général plus de degrés de liberté d’interface que de modes propres utilisés, les relations (15) et (16) ne peuvent être assurées exactement.
2.5. Rétro-projection du champ sur les points de mesure#
On peut évaluer le champ aux points où l’on a effectué la mesure, par rétro-projection du champ aux interfaces obtenus sur le modèle couplé.
En exploitant les relations (1), (9) et (12), le champ aux points de mesure s’écrit:
\({y}_{\mathrm{mes}}=\Psi {\eta}_{\mathrm{test}}=\Psi B{\tilde{y}}_{int}=\Psi B{y}_{e}\) (17)
2.6. Contrôle de la qualité de la base d’expansion#
La qualité des résultats dépend bien évidemment de l’incertitude sur la mesure, mais aussi de la capacité de la base d’expansion à représenter le comportement de la structure réelle et la transmission de l’information au niveau de l’interface.
Le sens physique de l’utilisateur intervient sur le choix de cette base d’expansion. Il est difficile de savoir a priori la taille de la base d’expansion permettant d’obtenir la meilleure estimation du comportement couplé. La qualité de la base d’expansion peut se mesurer en ré-estimant le champ à l’interface par expansion statique sur le modèle initial à partir du champ issu du modèle couplé.
Cet indicateur ne permet pas d’estimer directement la qualité des résultats obtenus sur le modèle couplé, mais il indique la pertinence de la reconstruction du champ à l’interface.