1. Amortissement et raideur gyroscopiques#

1.1. Caractéristiques de la gyroscopie#

Les modélisations actuellement disponibles dans Code_Aster pour les machines tournantes font intervenir les éléments structuraux de type poutre (pour les rotors) et les éléments discrets (pour les disques, les paliers, les supports, etc.).

Les calculs de l’énergie cinétique de l’élément poutre de Timoshenko (en considérant les déformations de flexion) ou de l’élément discret font apparaître les termes d’effet gyroscopique.

Pour un système tournant, l’équation classique de la dynamique des structures dépend des vitesses de rotation comme suit :

\(M\ddot{\delta}+{C}_{\mathit{gyro}}(\Omega )\dot{\delta}+(K+{K}_{\mathit{gyro}}(\dot{\Omega}))\delta =0\)

Où \(M\) et \(K\) sont les matrices classiques de raideur et de masse du système mécanique tournant. \({C}_{\mathit{gyro}}(\Omega )\) est une matrice non symétrique, fonction de la vitesse de rotation \(\Omega\) , incluant les caractéristiques d’amortissement gyroscopique. Cette matrice d’amortissement gyroscopique est antisymétrique, et sa contribution est proportionnelle à la vitesse angulaire.

\({K}_{\mathit{gyro}}(\dot{\Omega})\) est une matrice non symétrique, fonction de l’accélération de rotation \((\dot{\Omega})\) , incluant les caractéristiques de raideur gyroscopique. Cette matrice de raideur gyroscopique est pleine. Sa contribution est proportionnelle à l’accélération angulaire et est, donc, nulle en cas de vitesse de rotation constante. La matrice de raideur gyroscopique n’a de sens qu’en transitoire de vitesse.

L’amortissement et la raideur gyroscopiques sont actuellement disponibles dans Code_Aster pour les poutres droites (Éléments de Timoshenko POU_D_T et d’Euler POU_D_E) de section constante ou variable et de forme circulaire ainsi que pour les éléments discrets. Les hypothèses retenues pour les poutres sont:

  • Hypothèse de Timoshenko: le cisaillement transverse et tous les termes d’inertie sont pris en compte. Cette hypothèse est à utiliser pour des élancements faibles (Éléments POU_D_T).

  • Hypothèse d’Euler: le cisaillement transverse est négligé. Cette hypothèse est vérifiée pour de forts élancements (Éléments POU_D_E).

La vitesse de rotation propre (suivant l’axe de la poutre) peut être constante ou variable (cas d’un transitoire de vitesse de rotation: montée en vitesse ou ralentissement).

Les disques sont des cylindres de révolution dont l’axe est confondu avec l‘axe de la poutre. Ces disques sont supposés indéformable et sont modélisés par des éléments discrets. Le matériau est homogène et isotrope.

Enfin et pour plus de détails, le lecteur pourra se référer à la documentation de référence de l’amortissement et la raideur gyroscopiques dans Code_Aster [R5.05.07].

1.2. Calcul des matrices gyroscopiques#

Il est possible de construire les matrices d’amortissement et de raideur gyroscopiques à partir de chaque élément du modèle comme pour la rigidité et la masse. Pour les éléments finis structuraux de type poutre ou les éléments discrets, il est possible de calculer les matrices élémentaires réelles correspondant aux options de calcul “MECA_GYRO” et “RIGI_GYRO”. L’appel à ces opérations se fait comme suit :

AMGYELEM [ matr_elem_DEPL_R ] = CALC_MATR_ELEM

( / ♦ OPTION: “MECA_GYRO”

♦ MODELE: mo [modele]

♦ CHAM_MATER: chmat [cham_mater]

◊ CARA_ELEM: cara [cara_elem]

)

RIGYELEM [ matr_elem_DEPL_R ] = CALC_MATR_ELEM

( / ♦ OPTION: “RIGI_GYRO”

♦ MODELE: mo [modele]

♦ CHAM_MATER: chmat [cham_mater]

◊ CARA_ELEM: cara [cara_elem]

)

L’assemblage des matrices gyroscopiques élémentaires est obtenu avec l’opérateur ASSE_MATRICE habituel [U4.61.22].

AMGYASS=ASSE_MATRICE(MATR_ELEM=AMGYELEM,

NUME_DDL=NUMEDDL,)

RIGYASS=ASSE_MATRICE(MATR_ELEM=RIGYELEM,

NUME_DDL=NUMEDDL,)

On notera que l’on doit utiliser les mêmes numérotations et le même mode de stockage que pour les matrices de rigidité et de masse (opérateur NUME_DDL [U4.61.11]).

On peut aussi mener cette opération en même que temps que la construction des autres matrices (masse, raideur, amortissement, …) grâce à la macro-commande ASSEMBLAGE

ASSEMBLAGE( MODELE=MODELE,

CHAM_MATER=CHMAT,

CARA_ELEM=CARELEM,

CHARGE=BLOQUAGE,

NUME_DDL=CO(“NUMEDDL”),

MATR_ASSE=(_F(MATRICE=CO(“RIGIDITE”),

OPTION=”RIGI_MECA”,),

_F(MATRICE=CO(“MASSE”),

OPTION=”MASS_MECA”,),

_F(MATRICE=CO(“AMOR”),

OPTION=”AMOR_MECA”,),

_F(MATRICE=CO(“AMGY”),

OPTION=”MECA_GYRO”,),

_F(MATRICE=CO(“RIGY”),

OPTION=”RIGI_GYRO”,),),)

1.3. Utilisation des matrices gyroscopiques#

Les matrices calculées d’amortissement et de raideur gyroscopiques \({C}_{\mathit{gyro}}\) et \({K}_{\mathit{gyro}}\) sont unitaires et doivent donc être multipliées par la vitesse et l’accélération angulaires respectivement pour obtenir l’effet gyroscopique d’une vitesse donnée de rotation.

La matrice d’amortissement gyroscopique est généralement combinée après assemblage à la matrice d’amortissement classique par l’opérateur COMB_MATR_ASSE comme suit :

OM=124.14*pi/30. # Vitesse de rotation en tours/min transformée en rad/s

GYOM=COMB_MATR_ASSE(COMB_R=(_F(MATR_ASSE=AMGY, COEF_R=OM,),

_F(MATR_ASSE=AMOR, COEF_R=1.,),))

où AMGY et AMOR sont les matrices assemblées d’amortissement gyroscopique et visqueux.

Les matrices gyroscopiques sont utilisables pour l’analyse dynamique linéaire directe avec les opérateurs de réponse dynamique linéaire :

  • transitoire linéaire sur base physique DYNA_LINE_TRAN [U4.53.02] (cf. modélisation A dans [V2.02.126])

  • transitoire linéaire sur base modale DYNA_TRAN_MODAL [U4.53.21] (cf. modélisation B dans [V2.02.126])

  • harmonique DYNA_LINE_HARM [U4.53.11] (cf. modélisation C dans [V2,02,126])

  • DYNA_VIBRA [U4.53.03] (cf. modélisation C dans [V2,02,126])

Dans le cas d’un transitoire de vitesse de rotation traité sur base modale, les deux matrices gyroscopiques assemblées sont combinées aux matrices classiques d’amortissement et de rigidité de façon complètement transparente à l’utilisateur. Pour cela, il suffit de renseigner dans DYNA_TRAN_MODAL ou DYNA_VIBRA les paramètres définissant ce transitoire de vitesse (lois de vitesse et d’accélération angulaires imposées et matrices gyroscopiques assemblées, cf. [U4.53.21] et [U2.06.32]).

Ces matrices sont indispensables pour l’analyse modale complexe d’un système tournant avec l’opérateur de recherche des valeurs propres :

  • CALC_MODES [U4.52.02]

Pour les systèmes avec un nombre réduit de degrés de liberté, un calcul modal direct peut être réalisé avec l’opérateur cité ci-dessus et avec l’un ou l’autre des algorithmes de résolution (ici algorithme “SORENSEN” par exemple):

MODEG=CALC_MODES(MATR_RIGI=RIGIDITE,

MATR_MASS=MASSE,

MATR_AMOR=GYOM,

OPTION=”CENTRE”,

CALC_FREQ=_F(FREQ=1.,

NMAX_FREQ=16),

SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE=”SORENSEN”),

VERI_MODE=_F(SEUIL=1.E-3),

)

Pour un calcul modal quadratique (calcul de modes amortis) robuste, on peut utiliser une stratégie en deux étapes.

La méthode QZ est une méthode fiable pour un calcul modal quadratique. Cependant elle est coûteuse. Elle est donc à restreindre à des systèmes à petit nombre de degrés de liberté (quelques milliers de degrés de liberté) ou à des problèmes réduits par troncature modale. Il faut procéder à un calcul en deux étages:

  • 1a - calculer une base modale non amortie réduite:

MODES=CALC_MODES(MATR_RIGI=RIGIDITE,

MATR_MASS=MASSE,

OPTION=”BANDE”,

CALC_FREQ=_F(FREQ=(3.,3000.))

);

  • 1b - projeter les matrices de masse, de raideur et d’amortissement total GYOM sur cette base

(troncature modale):

PROJ_BASE(BASE=MODES,

PROFIL=”PLEIN”,

MATR_ASSE_GENE=(_F(MATRICE=CO(“MAGE”),

MATR_ASSE=MASSE,),

_F(MATRICE=CO(“RIGE”),

MATR_ASSE=RIGIDITE,),

_F(MATRICE=CO(“OMGE”),

MATR_ASSE=GYOM,),),

);

  • 2 - faire un calcul modal sur les matrices généralisés obtenues par projection:

MOD2ETAG=CALC_MODES(MATR_RIGI=RIGE,

MATR_MASS=MAGE,

MATR_AMOR=OMGE,

OPTION=”TOUT”,

SOLVEUR_MODAL=_F(METHODE=”QZ”),

);

On est donc amené à projeter les matrices antisymétrique et non symétrique \({C}_{\mathit{gyro}}\) et \({K}_{\mathit{gyro}}\) dans le sous-espace défini par un ensemble de modes propres réels. Cette opération est possible avec l’opérateur PROJ_MATR_BASE [U4.63.12]. Notons que dans le cas général, les matrices projetées ne sont pas symétriques. Elles restent néanmoins utilisables pour le calcul de la réponse dynamique en force ou en mouvement imposé dans l’espace modal, avec l’opérateur de réponse dynamique linéaire:

  • transitoire linéaire sur base modale DYNA_TRAN_MODAL [U4.53.21] (cf. modélisation B dans [V2,02,126])