2. Cinématique

2.1. Description des configurations

On considère la configuration initiale \({\Omega}_{0}\) et la configuration courante \({\Omega}_{t}\) . Le vecteur \(X\) donne la position d’une particule dans la configuration initiale et \(x\) est sa position dans la configuration courante. Avec \(u\) le déplacement de la particule entre les deux configurations:

(2.1)\[x=X+u\]

On considérera deux systèmes de coordonnées. Le système de cordonnées cartésien qui a trois composantes \((x,y,z)\) et dont la base est constituée par les trois vecteurs \({e}_{i}\) et le système de coordonnées paramétriques de référence de l’élément fini qui a aussi trois composantes \(\xi =(\xi ,\eta ,\zeta )\) .

Notations:

• Une quantité exprimée dans la configuration initiale sera en majuscule ;

• Une quantité exprimée dans la configuration courante sera en minuscule .

On va définir la base dans la configuration initiale par les trois vecteurs suivants:

(2.2)\[{G}_{i}=\frac{\partial X}{{\partial \xi }^{i}}\text{pour}i=\mathrm{1,2,3}\]

Le vecteur contravariant correspondant:

(2.3)\[{G}_{i}\cdot {G}^{j}={\delta}_{i}^{j}\]

De même, dans la configuration courante:

(2.4)\[ \begin{align}\begin{aligned}{g}_{i}=\frac{\partial x}{{\partial \xi }^{i}}={G}_{i}+\frac{\partial u}{{\partial \xi }^{i}}\text{pour}i=\mathrm{1,2,3}\\\textrm{et}\\{g}_{i}\cdot {g}^{j}={\delta}_{i}^{j}\end{aligned}\end{align} \]

2.2. Jacobien de la transformation

On peut exprimer la matrice jacobienne (de dimension \(3\times 3\) )de la transformation entre les la configuration initiale et l’espace paramétrique:

(2.5)\[J=\frac{\partial X}{\partial \xi }\]

Et l’inverse de la matrice jacobienne:

(2.6)\[\overline{J}={\left(\frac{\partial X}{\partial \xi }\right)}^{-1}\]

Le déterminant de \(J\) permet de transformer les intégrales de l’espace des coordonnées dans la configuration initiale vers l’espace paramétrique de référence des éléments finis. C’est aussi une mesure du volume réel de l’élément fini:

(2.7)\[{J}_{0}=det(J)\]

Pour stabiliser efficacement l’élémentet donc pour supprimer les modes sabliersprovenantdel’intégration réduite, il faut pouvoir calculer les différents termes intégraux avec une précision suffisante.

Comme le schéma d’intégration numérique est volontairement très pauvre, la meilleure façon de faire est de travailler avec des intégrandes qui sont des polynômes autant que possible. Pour cette raison, il est intéressant de rechercher une approximation polynomiale des matrices jacobienne \(J\) et jacobienne inverse \(\overline{J}\) , qui permet de représentern’importe quelle forme de l’élément avec une précision suffisante.

La matrice jacobienne \(J\) se décompose en composantes constantes, linéaires et bi-linéaires:

(2.8)\[J={J}^{0}+\xi {J}^{\xi}+\eta {J}^{\eta}+\zeta {J}^{\zeta}+\xi \eta {J}^{\xi \eta }+\eta \zeta {J}^{\eta \zeta }+\xi \zeta {J}^{\xi \zeta }\]

Une façon possible d’obtenir une forme adéquate de la matrice jacobienne inverse pour une bonne efficacité de la stabilisation est de l’évaluer qu’au centre de l’élément (voir [Bib12] et [Bib11]). Dans ce cas, la matrice jacobienne ainsi que son inverse sont constantes à l’intérieur de l’élément. Cependant, cette méthode n’est robuste que pour des maillages très fins.

Pour cette raison, nous approchons le jacobien inverse au moyen d’un développement de Taylor par rapport au centre de l’élément, suivant les travaux de [Bib10]. Cette méthode nous permet d’avoir une forme polynomiale de la matrice jacobienne inverse pour faciliter l’intégration numérique comme recherchée mais aussi que les éléments qui s’écartent de la forme parallélépipédique soient pris en compte de manière plus réaliste.

A partir de la décomposition (), on peut approcher \(\overline{J}\) en ne gardant que le terme constant et les termes linéaires:

(2.9)\[\overline{J}\approx {\overline{J}}^{0}+\xi {\frac{\partial \overline{J}}{\partial \xi }|}_{\xi =0}+\eta {\frac{\partial \overline{J}}{\partial \eta }|}_{\xi =0}+\zeta {\frac{\partial \overline{J}}{\partial \zeta }|}_{\xi =0}\]

Le terme constant est très facile à calculer puisque c’est l’inverse du terme constant de la jacobienne. Pour les autres termes, il faut évaluer les dérivée. On procède en développant le terme \(\overline{J}J\) au centre de l’élément:

(2.10)\[\overline{J}J\approx {\overline{J}}^{0}{J}^{0}+\xi {\frac{\partial (\overline{J}J)}{\partial \xi }|}_{\xi =0}+\eta {\frac{\partial (\overline{J}J)}{\partial \eta }|}_{\xi =0}+\zeta {\frac{\partial (\overline{J}J)}{\partial \zeta }|}_{\xi =0}\]

Et comme \(\overline{J}J=I\) , sa dérivée est nulle et on a donc pour chaque composante \({\xi}_{i}\) :

(2.11)\[0={\frac{\partial (\overline{J}J)}{\partial {\xi}_{i}}|}_{\xi =0}={\frac{\partial J}{\partial {\xi}_{i}}|}_{\xi =0}{\overline{J}}^{0}+{\frac{\partial \overline{J}}{\partial {\xi}_{i}}|}_{\xi =0}{J}^{0}\]

Et donc:

(2.12)\[ \begin{align}\begin{aligned}{\frac{\partial \overline{J}}{\partial {\xi}_{i}}|}_{\xi =0}=\frac{-{\frac{\partial J}{\partial {\xi}_{i}}|}_{\xi =0}{\overline{J}}^{0}}{{J}^{0}}=-{\overline{J}}^{0}{\frac{\partial J}{\partial {\xi}_{i}}|}_{\xi =0}{\overline{J}}^{0}\\\textrm{car}\\\frac{1}{{J}^{0}}={\overline{J}}^{0}\end{aligned}\end{align} \]

Il faut évaluer le terme. Pour cela, on part de () et on dérive. Pour la composante \(\xi\) par exemple:

(2.13)\[\frac{\partial J}{\partial \xi }=\frac{\partial {J}^{0}}{\partial \xi }+{J}^{\xi}+\eta {J}^{\xi \eta }+\zeta {J}^{\xi \zeta }\approx {J}^{\xi}\]

On n’a gardé que les termes linéaires en \(\xi\) Il reste:

(2.14)\[ \begin{align}\begin{aligned}{\frac{\partial J}{\partial \xi }|}_{\xi =0}\approx {{J}^{\xi}|}_{\xi =0}={J}^{\xi}\\{\frac{\partial J}{\partial \eta }|}_{\xi =0}\approx {{J}^{\eta}|}_{\xi =0}={J}_{0}^{\eta}\\{\frac{\partial J}{\partial \zeta }|}_{\xi =0}\approx {{J}^{\zeta}|}_{\xi =0}={J}_{0}^{\zeta}\end{aligned}\end{align} \]

On rappelle que les termes linéaires du développement de \(J\) sont constants sur l’élément (pas de dépendance à la coordonnée paramétrique \(\xi\) ). Et donc:

(2.15)\[{\frac{\partial \overline{J}}{\partial {\xi}_{i}}|}_{\xi =0}=-\left({\overline{J}}^{0}\right){J}^{{\xi}_{i}}\left({\overline{J}}^{0}\right)\]

Finalement, de (), on a l’estimation suivante de la jacobienne inverse:

(2.16)\[\overline{J}={\overline{J}}^{0}-\sum_{i=1}^{3}\left({\overline{J}}^{0}\right){J}_{0}^{{\xi}_{i}}\left({\overline{J}}^{0}\right){\xi}_{i}\]

Attention à bien distinguer \({J}^{0}\) qui est le terme constant (à l’ordre zéro) du développement limité de \(J\) par rapport au terme \({J}_{0}\) qui est la valeur exacte de \(J\) au centre de l’élément (en \(\xi =0\) ).

On aura également besoin de la version du jacobien sur la configuration courante, celle qu’on définit de la manière suivante:

(2.17)\[j=\frac{\partial x}{\partial \xi }=\frac{\partial X}{\partial \xi }+\frac{\partial u}{\partial \xi }=J+D\]

On procède exactement de la même manière pour \(D\) que pour \(J\) . Sa décomposition dans le repère paramétrique:

(2.18)\[D={D}^{0}+\xi {D}^{\xi}+\eta {D}^{\eta}+\zeta {D}^{\zeta}+\xi \eta {D}^{\xi \eta }+\eta \zeta {D}^{\eta \zeta }+\xi \zeta {D}^{\xi \zeta }\]

2.3. Tenseur des petites déformations

La partie linéaire du tenseur des déformations s’écrit en fonction des déplacements:

(2.19)\[\epsilon =\widehat{B}U\]

On va décomposer ce tenseur dans l’espace paramétrique de la manière suivante:

(2.20)\[\widehat{B}={\widehat{B}}^{0}+\zeta {\widehat{B}}^{\zeta}+{\zeta}^{2}{\widehat{B}}^{\zeta \zeta }+\xi {\widehat{B}}^{\xi}+\eta {\widehat{B}}^{\eta}+\xi \eta {\widehat{B}}^{\xi \eta }+\xi \zeta {\widehat{B}}^{\xi \zeta }+\eta \zeta {\widehat{B}}^{\eta \zeta }\]

En utilisant une méthode d’intégration réduite, il est nécessaire de modifier l’évaluation de cette matrice pour stabiliser le problème (faire disparaître les modes «sabliers» à énergie nulle), on écrira donc:

(2.21)\[\widehat{B}={\widehat{B}}^{\mathit{RI}}+{\widehat{B}}^{\mathit{STAB}}\]

La contribution correspondant à l’intégration réduite dans l’épaisseur est notée \({\widehat{B}}^{\mathit{RI}}\) et celle correspondant à la stabilisation est \({\widehat{B}}^{\mathit{STAB}}\) . En décomposant à l’ordre deux sur les composantes paramétriques, l’intégration réduite utilisant un schéma de points alignés suivant l’épaisseur \(\zeta\) , on a:

(2.22)\[{\widehat{B}}^{\mathit{RI}}={\widehat{B}}^{0}+\zeta {\widehat{B}}^{\zeta}+{\zeta}^{2}{\widehat{B}}^{\zeta \zeta }\]

Et la stabilisation qui correspond aux modes de déformation dans les autres directions:

(2.23)\[{\widehat{B}}^{\mathit{STAB}}=\xi {\widehat{B}}^{\xi}+\eta {\widehat{B}}^{\eta}+\xi \eta {\widehat{B}}^{\xi \eta }+\xi \zeta {\widehat{B}}^{\xi \zeta }+\eta \zeta {\widehat{B}}^{\eta \zeta }\]

2.4. Tenseur de déformations de Green-Lagrange

Le tenseur gradient de déformation vaut:

(2.24)\[F=\frac{\partial x}{\partial X}={g}_{i}\otimes {G}^{i}=\frac{\partial {x}^{i}}{\partial {\xi}^{k}}{e}_{i}\otimes \frac{\partial {\xi}^{k}}{\partial {X}^{j}}{e}_{j}\]

Le tenseur de Green-Lagrange «standard» (non-modifié):

(2.25)\[{E}^{u}=\frac{1}{2}\left({g}_{i}\cdot {g}_{j}-{G}_{i}\cdot {G}_{j}\right){G}^{i}\otimes {G}^{j}={\widehat{E}}_{ij}^{u}{G}^{i}\otimes {G}^{j}={E}_{ij}^{u}{e}_{i}\otimes {e}_{j}\]

Explicitement, les coordonnées dans le repère paramétrique:

(2.26)\[{\widehat{E}}_{ij}^{u}=\frac{1}{2}\left({G}_{i}\cdot \frac{\partial u}{\partial {\xi}^{j}}+\frac{\partial u}{\partial {\xi}^{i}}\cdot {G}_{j}+\frac{\partial u}{\partial {\xi}^{j}}\cdot \frac{\partial u}{\partial {\xi}^{i}}\right){G}^{i}\otimes {G}^{j}\]

En notation de Voigt, ce tenseur a six composantes:

(2.27)\[ \begin{align}\begin{aligned}{E}^{u}=\left\lbrace {E}_{\mathit{XX}}^{u},{E}_{\mathit{YY}}^{u},{E}_{\mathit{ZZ}}^{u},2{E}_{\mathit{XY}}^{u},2{E}_{\mathit{YZ}}^{u},2{E}_{\mathit{XZ}}^{u}\right\rbrace\\{\widehat{E}}^{u}=\left\lbrace {\widehat{E}}_{\xi \xi }^{u},{\widehat{E}}_{\eta \eta }^{u},{\widehat{E}}_{\zeta \zeta }^{u},2{\widehat{E}}_{\xi \eta }^{u},2{\widehat{E}}_{\eta \zeta }^{u},2{\widehat{E}}_{\xi \zeta }^{u}\right\rbrace\end{aligned}\end{align} \]

Pour passer de l’un à l’autre, on utilisera la matrice \(T\) :

(2.28)\[{E}^{u}=T{\widehat{E}}^{u}\]

Avec la matrice de passage \(T\) :

(2.29)\[\begin{split}T=\left[\begin{array}{cccccc}{\overline{J}}_{11}^{2}& {\overline{J}}_{21}^{2}& {\overline{J}}_{31}^{2}& {\overline{J}}_{11}{\overline{J}}_{21}& {\overline{J}}_{21}{\overline{J}}_{31}& {\overline{J}}_{11}{\overline{J}}_{31}\\ {\overline{J}}_{12}^{2}& {\overline{J}}_{22}^{2}& {\overline{J}}_{32}^{2}& {\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{22}& {\overline{J}}_{22}{\overline{J}}_{32}& {\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{32}\\ {\overline{J}}_{13}^{2}& {\overline{J}}_{23}^{2}& {\overline{J}}_{33}^{2}& {\overline{J}}_{13}{\overline{J}}_{23}& {\overline{J}}_{23}{\overline{J}}_{33}& {\overline{J}}_{13}{\overline{J}}_{33}\\ 2{\overline{J}}_{11}{\overline{J}}_{12}& 2{\overline{J}}_{21}{\overline{J}}_{22}& 2{\overline{J}}_{31}{\overline{J}}_{32}& {\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{21}+{\overline{J}}_{11}{\overline{J}}_{22}& {\overline{J}}_{22}{\overline{J}}_{31}+{\overline{J}}_{21}{\overline{J}}_{32}& {\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{31}+{\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{32}\\ 2{\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{13}& 2{\overline{J}}_{22}{\overline{J}}_{23}& 2{\overline{J}}_{32}{\overline{J}}_{33}& {\overline{J}}_{13}{\overline{J}}_{22}+{\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{23}& {\overline{J}}_{23}{\overline{J}}_{32}+{\overline{J}}_{22}{\overline{J}}_{33}& {\overline{J}}_{13}{\overline{J}}_{32}+{\overline{J}}_{12}{\overline{J}}_{33}\\ 2{\overline{J}}_{11}{\overline{J}}_{13}& 2{\overline{J}}_{21}{\overline{J}}_{23}& 2{\overline{J}}_{31}{\overline{J}}_{33}& {\overline{J}}_{13}{\overline{J}}_{21}+{\overline{J}}_{11}{\overline{J}}_{23}& {\overline{J}}_{23}{\overline{J}}_{31}+{\overline{J}}_{21}{\overline{J}}_{33}& {\overline{J}}_{13}{\overline{J}}_{31}+{\overline{J}}_{11}{\overline{J}}_{33}\end{array}\right]\end{split}\]

et \(\overline{J}\) les composantes de l’inverse de la matrice jacobienne:

(2.30)\[\overline{J}={\left(\frac{\partial X}{\partial \xi }\right)}^{-1}\]

On utilisera l’approximation () pour \(\overline{J}\) .

La décomposition du tenseur des grandes déformations est de la même forme que celle des petites déformations ():

(2.31)\[{\widehat{E}}^{u}={\widehat{E}}^{u,0}+\zeta {\widehat{E}}^{u,\zeta }+{\zeta}^{2}{\widehat{E}}^{u,\zeta \zeta }+\xi {\widehat{E}}^{u,\xi }+\eta {\widehat{E}}^{u,\eta }+\xi \eta {\widehat{E}}^{u,\xi \eta }+\xi \zeta {\widehat{E}}^{u,\xi \zeta }+\eta \zeta {\widehat{E}}^{u,\eta \zeta }\]

Et comme dans le cas des petites déformations, en utilisant une méthode d’intégration réduite, il est nécessaire de modifier l’évaluation du tenseur des déformations de Green-Lagrange pour stabiliser le problème (faire disparaître les modes «sabliers» à énergie nulle), on écrira donc:

(2.32)\[{\widehat{E}}^{u}={\widehat{E}}^{u,\mathit{RI}}+{\widehat{E}}^{u,\mathit{STAB}}\]

La contribution correspondant à l’intégration réduite dans l’épaisseur est notée \({\widehat{E}}^{u,\mathit{RI}}\) et celle correspondant à la stabilisation est \({\widehat{E}}^{u,\mathit{STAB}}\) . En décomposant sur les composantes paramétriques, l’intégration réduite utilisant un schéma de points alignés suivant l’épaisseur, on a:

(2.33)\[{\widehat{E}}^{u,\mathit{RI}}={\widehat{E}}^{u,0}+\zeta {\widehat{E}}^{u,\zeta }+{\zeta}^{2}{\widehat{E}}^{u,\zeta \zeta }\]

Et la stabilisation qui correspond aux modes de déformation dans les autres directions:

(2.34)\[{\widehat{E}}^{u,\mathit{STAB}}=\xi {\widehat{E}}^{u,\xi }+\eta {\widehat{E}}^{u,\eta }+\xi \eta {\widehat{E}}^{u,\xi \eta }+\xi \zeta {\widehat{E}}^{u,\xi \zeta }+\eta \zeta {\widehat{E}}^{u,\eta \zeta }\]

Le tenseur des déformations de Green-Lagrange dans le repère paramétrique s’écrira:

(2.35)\[{\widehat{E}}^{u}=\left\lbrace {\widehat{E}}_{\xi \xi }^{u},{\widehat{E}}_{\eta \eta }^{u},{\widehat{E}}_{\zeta \zeta }^{u},2{\widehat{E}}_{\xi \eta }^{u},2{\widehat{E}}_{\eta \zeta }^{u},2{\widehat{E}}_{\xi \zeta }^{u}\right\rbrace\]

Attention à ne pas confondre les composantes du tenseur des déformations () avec ceux de sa décomposition (-).