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2. Écriture continue du problème#

2.1. Éléments de cinématique en grandes transformations#

On considère un solide \(\domain\) soumis à des grandes déformations (voir figure). Soit \(\gradTransfor\) le tenseur gradient de la transformation, \(\phi\) faisant passer la configuration initiale \(\domainRefe\) à la configuration actuelle déformée \(\domainCurr\). On note \(\posiRefe\) la position d’un point dans \(\domainRefe\) et \(\posiCurr\) la position de ce même point après déformation dans \(\domainCurr\). \(\disp\) est alors le déplacement entre les deux configurations. On a donc:

(2.1)#\[\posiCurr = \posiRefe + \disp\]

Le tenseur gradient de la transformation s’écrit:

(2.2)#\[\gradTransfor = \frac{\partial \posiCurr}{\partial \posiRefe} = \tensTwoUnit + \gradVector{\disp}\]

_images/Shape1.gif — Fig. 2.1 Solide en grandes transformations#

2.2. Travail virtuel des efforts extérieurs de pression#

On considère une pression \(\presRefe\) normale à la surface dans la configuration de référence. Cette pression s’écrit \(\presCurr\) dans la configuration actuelle.

_images/Shape2.gif — Fig. 2.2 Configuration de référence et configuration actuelle#

Dans la configuration actuelle, le travail virtuel des efforts extérieurs de pression \(\work{\pres}\) s’écrit simplement (voir Fig. 2.2):

(2.3)#\[\work{\pres}(\disp) = {\int}_{\boundNCurr(\disp)} {-\pres \, \normalCurr \cdot \dispVirt \measBound }\]

De plus, on suppose dorénavant que la valeur de la pression ne dépend pas explicitement du déplacement mais seulement du point matériel d’application:

(2.4)#\[\presCurr(\posiCurr) = \presCurr(\funcTransfor (\posiRefe)) = \presRefe(\posiRefe)\]

Le coté suiveur de la force vient de la dépendance de la normale au déplacement. Dans ce cas, on peut alors exprimer le travail virtuel des efforts de pression dans la configuration de référence (changement de variable dans l’intégrale):

(2.5)#\[\work{\pres}(\disp) = {\int}_{\boundNRefe(\disp)} {-\presRefe \, \det \gradTransfor \, \left[ \inverseTranspose{\gradTransfor} \cdot \normalRefe \right] \cdot \dispVirt \left(\funcTransfor \left(\posiRefe\right)\right)\measBound }\]

Sur le plan pratique, on utilisera la formule (2.3) pour calculer le travail des efforts de pression. Toutefois, la formule (2.5) est la mieux adaptée à une dérivation par rapport au déplacement, dont on va voir la nécessité au paragraphe suivant.

2.3. Variation du travail virtuel des efforts extérieurs de pression#

Dans l’optique d’une résolution du problème d’équilibre de la structure par une méthode de Newton, on est amené à exprimer la variation du travail virtuel des efforts extérieurs de pression par rapport au déplacement, de manière similaire à ce qui a été fait pour le travail virtuel des efforts intérieurs dans [R5.03.01]. Le domaine d’intégration étant fixe dans l’expression (2.5), la dérivation sous le signe somme est licite (cf. [Bib2] ):

(2.6)#\[\frac{\partial \work{\pres}\left(\disp\right)}{\partial \disp} = {\int}_{\boundNRefe(\disp)} {-\presRefe \, \frac{\partial}{\partial \disp} \left[\det \gradTransfor \, \inverseTranspose{\gradTransfor} \right] \cdot \delta \disp \cdot \normalRefe \cdot \dispVirt\measBound}\]

Nous décidons de choisir comme configuration de référence la configuration actuelle, pour laquelle \(\gradTransfor=\tensTwoUnit\). Ce choix conduit à une expression simple de la dérivée du terme entre crochets:

(2.7)#\[\frac{\partial}{\partial \disp}\left[ \det \gradTransfor \, \inverseTranspose{\gradTransfor} \right] \cdot \delta \disp = \divVector{\delta \disp} \, \tensTwoUnit - \gradVector{ \delta \disp}\]

Finalement, la variation du travail virtuel des efforts extérieurs de pression s’écrit dans la configuration actuelle:

(2.8)#\[\frac{\partial \work{\pres}(\disp)}{\partial \disp}\cdot\delta \disp\cdot\dispVirt = {\int}_{\boundNCurr(\disp)} {-\presCurr \, \left[ \divVector{\delta \disp} \, \tensTwoUnit - \gradVector{ \delta \disp} \right] \cdot \normalCurr \cdot \dispVirt \measBound}\]

Dans l’expression (2.8) subsiste une difficulté. En effet, on s’attend à obtenir une grandeur essentiellement surfacique alors que l’intégrande fait apparaître des termes de dérivation normale à la surface. Autrement dit, il faut connaître l’expression des déplacements virtuels non seulement sur la surface du domaine mais aussi à l’intérieur de celui-ci (dans un voisinage de la surface pour pouvoir exprimer les dérivées normales). Cet inconvénient n’est pas anodin puisque pour calculer les termes élémentaires dus aux efforts surfaciques, on emploie des éléments de peau pour lesquels une variation normale n’a pas de sens.

2.4. Adoption d’un paramétrage curviligne de la surface#

Pour remédier au problème mentionné précédemment, il faut chercher à exprimer la relation (2.7) à l’aide de grandeurs surfaciques uniquement. Pour cela, on a recours à des éléments de géométrie différentielle, [Bib1], dont on adopte les notations (en particulier, on adopte la convention de sommation des indices répétés où les indices grecs prennent les valeurs \(1\) et \(2\) tandis que les indices latins prennent les valeurs \(1\) à \(3\) ).

_images/Shape3.gif — Fig. 2.3 Paramétrage curviligne du voisinage de la surface soumise à la pression#

Soit \(({\theta}^{1},{\theta}^{2})\) un paramétrage admissible de la surface. Pour décrire le volume constitué d’un voisinage de cette surface, on lui adjoint une troisième variable, \({\theta}^{3}\), qui mesure la progression suivant la normale unitaire \(n\) en \(({\theta}^{1},{\theta}^{2})\). On a ainsi (voir Fig. 2.3):

(2.9)#\[\vector{OM}\left({\theta}^{1},{\theta}^{2},{\theta}^{3}\right) = \vector{OS}\left({\theta}^{1},{\theta}^{2})+{\theta}^{3} \,\normalCurr({\theta}^{1},{\theta}^{2}\right)\]

Avec ce choix de paramétrage, la base naturelle covariante \((\vectorBaseCV{1},\vectorBaseCV{2},\vectorBaseCV{3})\) s’écrit:

(2.10)#\[\vectorBaseCV{i} = \frac{\partial \vector{OM}}{\partial {\theta}^{i}}\]

Tandis que le tenseur métrique \(\metric\) vaut:

(2.11)#\[\begin{split}\metric = \vectorBaseCV{i} \times \vectorBaseCV{j} = \left[ \begin{array}{ccc} \tensTwoCmpCO{\metric}{1}{1}& \tensTwoCmpCO{\metric}{1}{2}& 0\\ \tensTwoCmpCO{\metric}{2}{1}& \tensTwoCmpCO{\metric}{2}{2}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{split}\]

Dans ce paramétrage curviligne, l’intégrande (2.8) a pour expression:

(2.12)#\[ {-\pres \, \tensTwoCmpCO{\metric}{i}{j} \, \vectorCmpCT{\normal}{i} \, \left[ \derivee{\vectorCmpCT{\delta \disp}{k}}{k} \, \vectorCmpCT{\dispVirt}{j} - \derivee{\vectorCmpCT{\delta \disp}{j}}{k} \, \vectorCmpCT{\dispVirt}{k} \right] }\]

Ce terme se simplifie considérablement. En effet, on peut déjà noter que lorsque \(j=k\) , le terme entre crochet est nul. En outre, dans le système curviligne adopté, les composantes contravariantes de \(\normal\) sont:

(2.13)#\[\vectorCmpCT{\normal}{1}=0, \quad \vectorCmpCT{\normal}{2}=0 \quad \vectorCmpCT{\normal}{3}=1\]

Enfin, en tenant compte de la forme particulière de \(\metric\) (c’est-à-dire \(\tensTwoCmpCO{\metric}{1}{3}=0\) , \(\tensTwoCmpCO{\metric}{2}{3}=0\) et \(\tensTwoCmpCO{\metric}{3}{3}=1\) ), la variation du travail (2.8) s’écrit simplement:

(2.14)#\[\frac{\partial \work{\pres}(\disp)}{\partial \disp}\cdot\delta \disp \cdot \dispVirt = {\int}_{\boundNCurr(\disp)} { -\presCurr \, \left[ \derivee{\vectorCmpCT{\delta \disp}{\alpha}}{\alpha} \, \vectorCmpCT{ \dispVirt}{3} - \derivee{\vectorCmpCT{\delta \disp}{3}}{\alpha} \, \vectorCmpCT{\dispVirt}{\alpha} \right] \measBound}\]

Sur cette expression, on constate que seuls interviennent des opérateurs différentiels surfaciques (dérivation covariante par rapport à \({\theta}^{1}\) et \({\theta}^{2}\) seulement), ce qui est bien le but recherché. En introduisant la base contravariante \((\vectorBaseCT{1},\vectorBaseCT{2},\vectorBaseCT{3}=\normal)\), appelée aussi base duale et qui s’exprime à partir de la base covariante par:

(2.15)#\[vectorBaseCT{i} = {\left[\metric^{ij}\right]}^{-1} \, vectorBaseCV{j}\]

On peut s’affranchir des composantes curvilignes:

(2.16)#\[\frac{\partial \work{\pres}(\disp)}{\partial \disp}\cdot\delta \disp\cdot\dispVirt = {\int}_{\boundNCurr(\disp)} { -\presCurr \, \left[ \left( \frac{\partial \delta \disp}{\partial {\theta}^{\alpha}} \cdot \vectorBaseCT{\alpha} \right) \, \left(\dispVirt \cdot \normal \right) - \left( \frac{\partial \delta \disp}{\partial {\theta}^{\alpha}} \cdot \normal \right) \, \left( \dispVirt \cdot \vectorBaseCT{\alpha} \right) \right] \measBound}\]

C’est dorénavant l’expression (2.16) qui sera utilisée pour calculer la variation du travail virtuel des efforts de pression.

2.5. Cas particulier d’une structure soumise à une pression interne ou externe constante#

Dans le cas particulier d’une pression constante dans une cavité (voir Fig. 2.4), on montre que les efforts de pression dérivent d’un potentiel \(\Xi\) qui n’est autre que le produit de la pression par le volume de la cavité. Ce résultat s’étend au cas d’une structure plongée dans un fluide à pression constante.

_images/Shape4.gif — Fig. 2.4 Structure sous pression interne ou externe constante#

On écrit ce potentiel:

(2.17)#\[\Xi = \pres \, {\int}_{\boundNCurr(\disp)} { \measDomain } = \pres \, {\int}_{\boundNRefe(\disp)} { \det \gradTransfor \measDomain }\]

A nouveau, on choisit comme configuration de référence la configuration actuelle. La variation de \(\Xi\) conduit alors bien au travail virtuel des efforts extérieurs de pression:

(2.18)#\[\frac{\partial \Xi }{\partial \disp}\cdot\dispVirt = \pres \, {\int}_{\domainCurr(\disp)} { \divVector(\dispVirt) \, \measDomain } = - {\int}_{\boundNCurr(\disp)} { \pres \, \dispVirt \cdot \normal \measBound} = \work{\pres} \, \dispVirt\]

Dans ce cas particulier, la variation du travail virtuel est aussi la seconde variation du potentiel \(\Xi\) , c’est-à-dire une forme bilinéaire symétrique :

(2.19)#\[\frac{\partial {W}^{\pres}(\disp)}{\partial \disp}\cdot\delta \disp\cdot\dispVirt=\frac{{\partial}^{2}\Xi (\disp)}{\partial {\disp}^{2}}\cdot\delta \disp\cdot\dispVirt\]