1. Introduction#

Dans Code_Aster , on appelle « élément fini », un triplet (phénomène, modélisation, type de maille). Il y a trois phénomènes principaux: MECANIQUE, THERMIQUE et ACOUSTIQUE.

Il existe de nombreuses modélisations ; par exemple, pour le phénomène MECANIQUE: 3D, C_PLAN, D_PLAN, AXIS, DKT, POU_D_E, …

Pour une modélisation donnée (par exemple 3D) d’un phénomène (par exemple MECANIQUE), il existe en général plusieurs éléments finis: un élément par type de maille supporté: HEXA8, HEXA20, PENTA6, …

Au final, il existe donc de très nombreux éléments finis (plus de 500 en juillet 2004).

En revanche, les types de maille sont eux en nombre réduit: POI1, SEG2, SEG3, SEG4, TRIA3, TRIA6, TRIA7, QUAD4, QUAD8, HEXA8, HEXA20, …, TETRA4, TETRA10.

En général, chaque élément fini, pour réaliser ses calculs élémentaires, utilise les notions de fonction d’interpolation (ou fonction de forme) et de schéma d’intégration. En général aussi, ces fonctions de forme et ces schémas d’intégration sont définis sur un élément dit « de référence » dont la géométrie est définie dans un système de coordonnées souvent appelé: \((\xi ,\eta ,\zeta )\) . Le passage de l’élément de référence à l’élément réel se fait grâce à une transformation géométrique qui utilise les mêmes fonctions d’interpolation. L’élément est alors dit « iso-paramétrique ». Ces notions sont très bien expliquées dans [bib1] ou dans [bib2] (qui est accessible gratuitement en ligne).

Le nombre élevé d’éléments finis du code conjugué au nombre restreint des types de maille, conduit au fait qu’il existe plusieurs éléments finis s’appuyant sur un même type de maille ; par exemple le quadrilatère à 8 nœuds appelé QUAD8 supporte plus de 60 éléments finis différents.

En théorie, chaque élément fini peut choisir ses fonctions d’interpolation et ses schémas d’intégration comme il l’entend. Mais dans la pratique, presque tous les éléments finis s’appuyant sur le même type de maille, utilisent le même élément de référence, les mêmes fonctions de forme et les mêmes schémas d’intégration. Le but de ce document est de décrire ces différents éléments de référence.

Pour chaque élément de référence (appelé dans la suite du document ELREFE), on indiquera:

  • la maille support, le nombre des nœuds, leur numérotation locale et leurs coordonnées,

  • les expressions algébriques des fonctions de forme et de leurs dérivées premières (et parfois secondes)

  • les familles de points d’intégration que l’on nommera. Pour chaque famille, on donnera le nombre de points, leurs coordonnées et leurs « poids » d’intégration. La somme de ces poids, doit donner le « volume » de l’élément de référence. Par exemple, le « volume » du quadrangle de référence (\(-1\le \xi \le +1\) , \(1<\eta <+1\) ) vaut 4.