Nouvelle option DDL_STAB : Version stabilisée des calculs d’endommagement

par J. Beaurain, EDF R&D / AMA

Dans les problèmes d’endommagement, la dégradation mécanique irréversible du matériau est représentée à l’aide de lois de comportement présentant toujours une phase adoucissante qui permet de diminuer la contrainte jusqu’à rupture. La difficulté est que l’adoucissement favorise la localisation de l’endommagement et ne permet pas de garantir l’unicité de la solution.

L’utilisation de méthodes de résolutions différentes ou de méthodes de changement de branches par perturbation permet d’obtenir, dans de nombreux cas, une multiplicité de solution vérifiant les équations d’équilibre du premier ordre. Se pose alors la question de la stabilité des solutions. Seuls les états d’équilibre stables situés sur des puits de potentiel de l’énergie sont physiquement observables. Ce qui, en considération de la contrainte unilatérale d’accroissement de l’endommagement, revient à vérifier que la solution est bien un minimum local de l’énergie, dans la direction des endommagements croissants.

Diagramme de stabilité de la solution homogène d’une barre en traction représentée à partir d’une discrétisation de l’ordre de 75000 degrés de liberté

On définit alors le critère de stabilité comme la positivité de la dérivée seconde de l’énergie pour l’état d’équilibre trouvé. Numériquement, on doit s’assurer de la positivité d’un quotient de Rayleigh, qui s’exprime comme une fonction quadratique faisant intervenir l’opérateur tangent, contraint par la positivité de l’incrément d’endommagement. L’étude de signe conduit à la recherche du minimum du quotient de Rayleigh, qui est effectuée à partir d’un algorithme d’optimisation sous contrainte d’inégalités s’appuyant sur la méthode des puissances.

Direction de l’instabilité

La principale difficulté de ce type de minimisation est la perte de robustesse des algorithmes dans le cas des problèmes discrétisés à un de degrés de liberté supérieur à 1000. Étape que l’on a franchi dans Code_Aster via l’utilisation de la méthode de réduction de Sorensen, qui permet de projeter le problème dans un espace constitué d’un certain nombre de modes propres significatifs de la structure. Il suffit pour cela de déclarer, dans le fichier de commande et du mot-clé CRIT_FLAMB de STAT_NON_LINE, l’option DDL_STAB.

Direction d’instabilité de la solution homogène d’un biaxial en chargement uniforme, représentée à partir d’une discrétisation de l’ordre de 36000 degrés de liberté

Il est donc désormais possible :

• de suivre l’état de stabilité de la solution numériquement obtenue à la fin de chaque pas de temps, quelque soit la méthode de résolution utilisée et quelque soit la modélisation associée ;
• de bifurquer vers une branche de solution stable dans le cas où l’instabilité est détectée, en utilisant ensuite le mode d’instabilité trouvé par l’algorithme d’optimisation sous contrainte comme perturbation de la méthode de résolution.

Problème de traction d’une matrice à fibre renforcée (le disque Dr est encastré)	Solution symétrique instable discrétisée avec 46000 degrés de liberté	Solution disymétrique stable de 53000 degrés de liberté

Ce travail est un livrable du projet Méthodes Numériques Avancées en Mécanique, il a donné lieu à trois communications scientifiques dans des congrès nationaux et internationaux :

• "Méthode numérique pour l’étude de stabilité de modèles d’endommagement à gradient" , J. Beaurain, J.-J. Marigo, K. Kazymyrenko, Colloque National en Calcul des Structures, CSMA 2011, 9-13 mai 2011, Giens.

• "Numerical Algorithm to Study the Stability of Damage Problems", J. Beaurain, J.-J. Marigo, K. Kazymyrenko, International Conference on Computational Modeling of Fracture and Failure of Materials and Structures, CFRAC 2011, 6-8 June 2011, Barcelona, Spain.

• "Méthode numérique pour l’étude de stabilité de modèles d’endommagement à gradient" , J. Beaurain, J.-J. Marigo, K. Kazymyrenko, Congrès Français de Mécanique, CFM 2011, 28 août-02 septembre 2011, Besançon.