Nouvelle procédure de dénombrement de valeurs propres adaptée au plan complexe

par O. Boiteau, EDF R&D / Sinetics

Pourvoir compter le nombre de valeurs propres dans une zone du plan complexe est un ingrédient optionnel mais néanmoins important des opérateurs modaux de Code_Aster (MODE_ITER_SIMULT/INV, MACRO_MODE_MECA, CALC_MODAL …). Pour l’instant une méthode classique, dite « de Sturm », répond à ce besoin mais uniquement pour une gamme de problème donné (problème généralisé standard), lorsqu’il s’agit de dénombrer les modes appartenant à un segment réel (cf. figure 1). L’objectif de cette étude, commanditée par le Projet MNAM, a été de développer une technique similaire pour n’importe quelle zone du plan complexe (cf. figure 1). Cette généralisation permet de prendre en compte tous les problèmes modaux proposés par le code : problèmes généralisés (GEP) et quadratiques (QEP) avec amortissement visqueux ou hystérétique, effet gyroscopique…

GEP standart, bande de test	GEP atypique ou QEP, zone de test (ici disque)
Figure 1 : Deux problématiques distinctes : dénombrement de valeurs propres dans un segment de l’axe réel et dans une portion finie du plan complexe

Des quelques méthodes proposées dans la littérature, nous n’avons finalement retenu que la méthode dite ‘APM’ pour ‘Argument Principal Method’. Elle semble la seule, suffisamment mature malgré son coût calcul, pour enrichir l’opérateur IMPR_STURM. Dans un premier temps, nous l’avons volontairement limité à ce rôle de pré-traitement de diagnostic car cette méthode, tout juste issue de la recherche académique, est cours de fiabilisation.

Le principe d’APM a une description géométrique dont la simplicité est trompeuse. Elle consiste à discrétiser le contour de la zone d’intérêt (par exemple, le disque dans la figure 1). Puis en chacun de ces points, d’évaluer l’argument principal du déterminant de la matrice dynamique associée Arg(P(λ)). Ces valeurs d’argument tracent alors une sorte de « coquille d’escargot » autour du point d’origine (cf. figures 2). Un résultat mathématique nous assure alors qu’il suffit de compter son nombre de tours pour connaître le nombre de valeurs propres strictement contenues dans le disque initial.

Figure 2 : Contours dans le plan P(λ) sur le même calcul modal Aster : le QEP du cas-test sdll123a

Mais il faut savoir composer, comme le montre les figures 2, avec des contingences de discrétisation (qui doit être assez fine mais pas trop car cela coûte cher) : point de rebroussement, calcul faussé par une trop grande proximité avec une valeur propre…