Solution de référence ===================== Méthode de calcul ----------------- Le problème est à symétrie sphérique. On se place donc dans le repère :math:`(r,\theta ,\varphi )` . On considère le cas où :math:`{p}_{\mathit{imp}}` ne dépend pas de :math:`\theta ` , ni de :math:`\varphi ` . Cette hypothèse nous permet d’exprimer la solution analytique pour le problème en régime harmonique et semi-analytique pour le problème en transitoire en exploitant la symétrie du problème. En effet, par la symétrie dans le problème, le déplacement de structure s’écrit: .. math:: :label: eq-1 {u}_{s}(r,\theta ,\varphi ,t)=u(r,t){e}_{r} Et la pression acoustique dans le fluide: .. math:: :label: eq-2 {p}_{f}(r,\theta ,\varphi ,t)=p(r,t) Le tenseur de déformation de Green-Lagrange linéarisé est donc donné par: .. math:: :label: eq-3 \epsilon (r,t)=\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}(r,t){e}_{r}\otimes {e}_{r}+\frac{u(r,t)}{r}\left({e}_{\theta}\otimes {e}_{\theta}+{e}_{\varphi}\otimes {e}_{\varphi}\right) Avec un matériau élastique isotrope, la contrainte de Cauchy vaut alors: .. math:: :label: eq-4 \sigma (r,t)=\left((\lambda +2\mu )\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}+2\lambda \frac{u(r,t)}{r}\right){e}_{r}\otimes {e}_{r}+\left(\lambda \frac{\partial u(r,t)}{\partial r}+(\lambda +2\mu )\frac{u(r,t)}{r}\right)\left({e}_{\theta}\otimes {e}_{\theta}+{e}_{\varphi}\otimes {e}_{\varphi}\right) :math:`\lambda ` et :math:`\mu ` étant les coefficients de Lamé. L'expression de la conservation de la quantité de mouvement permet d'écrire: .. math:: :label: eq-5 \frac{{r}^{2}}{{c}_{s}^{2}}\frac{{\partial}^{2}u(r,t)}{\partial {t}^{2}}-{r}^{2}\frac{{\partial}^{2}u(r,t)}{\partial {r}^{2}}-2r\frac{\partial u(r,t)}{\partial r}+2u(r,t)=0 Avec la vitesse de propagation du son dans la structure :math:`{c}_{s}` qui vaut: .. math:: :label: eq-6 {c}_{s}^{2}=\frac{\lambda +2\mu }{{\rho}_{s}} :math:`\lambda ` et :math:`\mu ` étant les coefficients de Lamé. .. math:: :label: eq-7 \frac{1}{{c}_{f}^{2}}\frac{{\partial}^{2}p}{\partial {t}^{2}}(t,x)-\Delta p(t,x)=0 En coordonnées sphériques, l'équation de propagation de la pression acoustique s'écrit: .. math:: :label: eq-8 \frac{1}{{c}_{f}^{2}}\frac{{\partial}^{2}p}{\partial {t}^{2}}(r,t)-\frac{{\partial}^{2}p}{\partial {r}^{2}}(r,t)-\frac{2}{r}\frac{\partial p}{\partial r}(r,t)=0 La condition de continuité de la contrainte normale sur la surface :math:`{\Gamma}_{\mathit{ext}}` s'écrit sous forme d'équation scalaire: .. csv-table:: ":math:`(\lambda +2\mu ){\frac{\partial u(t)}{\partial r}", "}_{r={R}_{\mathit{ext}}}+2\lambda {\frac{u(t)}{{R}_{\mathit{ext}}}", "}_{r={R}_{\mathit{ext}}}=-{p(t)", "}_{r={R}_{\mathit{ext}}}`", "(9)" La condition de la continuité d’accélération normale sur la surface :math:`{\Gamma}_{\mathit{ext}}` s'écrit: .. csv-table:: ":math:`{\frac{{\partial}^{2}u(t)}{\partial {t}^{2}}", "}_{{R}_{\mathit{ext}}}=-{\frac{1}{{\rho}_{f}}\frac{\partial p(t)}{\partial r}", "}_{{R}_{\mathit{ext}}}`", "(10)" La pression est imposée sur la surface :math:`{\Gamma}_{int}` et s'écrit: .. csv-table:: ":math:`(\lambda +2\mu ){\frac{\partial u(t)}{\partial r}", "}_{r={R}_{int}}+2\lambda {\frac{u(t)}{{R}_{\mathit{ext}}}", "}_{r={R}_{int}}=-{p}_{\mathit{imp}}(t)`", "(11)" Enfin, on applique la condition de Sommerfeld (non-réflexion des ondes) sur la surface extérieure :math:`{\Gamma}_{\mathit{bgt}}` : .. math:: :label: eq-12 \underset{r\to \infty }{\lim}\left(\frac{1}{{c}_{f}}\frac{\partial p}{\partial t}(r,t)+\frac{\partial p}{\partial r}(r,t)\right)=0 Résolution en harmonique ------------------------ On s’intéresse ici à la sollicitation de la forme :math:`{p}_{\mathit{imp}}(t)={P}_{\mathit{imp}}{e}^{i\omega t}` et on cherche la solution de la forme :math:`u(r,t)=U(r){e}^{i\omega t}` et :math:`p(r,t)=P(r){e}^{i\omega t}` . Sous cette forme, les dérivées partielles en temps sont triviales. Par exemple: .. math:: :label: eq-13 u(r,t)=U(r){e}^{i\omega t}\to \frac{\partial u}{\partial t}=i\omega U(r){e}^{i\omega t}\to \frac{{\partial}^{2}u}{\partial {t}^{2}}=-i{\omega}^{2}U(r){e}^{i\omega t} Le problème revient à trouver :math:`U` et :math:`P` qui sont solutions du problème suivant: .. math:: :label: eq-14 {r}^{2}\frac{{d}^{2}U}{{\mathit{dr}}^{2}}+2r\frac{dU}{\mathit{dr}}+\left(\frac{{\omega}^{2}}{{c}_{s}^{2}}{r}^{2}-2\right)U=0 Et: .. math:: :label: eq-15 \frac{{d}^{2}P}{{\mathit{dr}}^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\mathit{dP}}{\mathit{dr}}+\frac{{\omega}^{2}}{{c}_{f}^{2}}P=0 La solution du problème () s'écrit: .. math:: :label: eq-16 U(r)=A(\omega ){j}_{1}\left(\frac{\omega}{{c}_{s}}r\right)+B(\omega ){y}_{1}\left(\frac{\omega}{{c}_{s}}r\right) Où :math:`{j}_{1}` et :math:`{y}_{1}` sont, respectivement, la fonction de Bessel sphérique d'ordre 1 du premier type et la fonction de Bessel sphérique d'ordre 1 du second type. La solution du problème () s'écrit: .. math:: :label: eq-17 P(r)=C(\omega )\frac{{e}^{-i\omega r/{c}_{f}}}{r}+D(\omega )\frac{{e}^{i\omega r/{c}_{f}}}{r} Pour trouver les valeurs :math:`A(\omega )` , :math:`B(\omega )` , :math:`C(\omega )` et :math:`D(\omega )` . On se sert des conditions limites. Dans l'équation (), le terme en :math:`\frac{{e}^{-i\omega r/{c}_{f}}}{r}` correspond à l'onde se propageant radialement vers l'infini tandis que l'autre terme :math:`\frac{{e}^{i\omega r/{c}_{f}}}{r}` est la réflexion de l'onde (vers la source). Comme on impose une condition de non-réflexion, sur le bord extérieur, cette deuxième contribution est nulle et on a donc :math:`D(\omega )=0` . Grandeurs et résultats de référence ----------------------------------- Pour calculer la solution, il faut avoir une estimation des fonctions de Bessel. On utilise pour ça scipy, (fonctions spéciales). On récupère le déplacement en deux points: Uint sur la surface de la structure :math:`{\Gamma}_{int}` , Uext sur la surface IFS :math:`{\Gamma}_{\text{ext}}` . La pression est relevée Pext sur la surface IFS :math:`{\Gamma}_{\text{ext}}` et Pbgt sur la surface extérieure :math:`{\Gamma}_{\text{bgt}}` *.* +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | Partie réelle | Partie imaginaire | +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | | | | .. image:: images/1000020100000280000001E08F60D4CE2EB6CCF0.png | .. image:: images/1000020100000280000001E0D87C3C0FB7AA765E.png | | :width: 3.3681in | :width: 3.3681in | | :height: 2.5256in | :height: 2.5256in | | | | | | | | .. _RefImage_1000020100000280000001E08F60D4CE2EB6CCF0.png: | .. _RefImage_1000020100000280000001E0D87C3C0FB7AA765E.png: | | | | | | | +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | | | | .. image:: images/1000020100000280000001E0ADC02A993FFE55DB.png | .. image:: images/1000020100000280000001E07EEAA6F6D400B7E9.png | | :width: 3.3681in | :width: 3.3681in | | :height: 2.5256in | :height: 2.5256in | | | | | | | | .. _RefImage_1000020100000280000001E0ADC02A993FFE55DB.png: | .. _RefImage_1000020100000280000001E07EEAA6F6D400B7E9.png: | | | | | | | +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | | | | .. image:: images/1000020100000280000001E07C7FD3DC04E4B3B2.png | .. image:: images/1000020100000280000001E00605C02F6BB9ADF2.png | | :width: 3.3681in | :width: 3.3681in | | :height: 2.5256in | :height: 2.5256in | | | | | | | | .. _RefImage_1000020100000280000001E07C7FD3DC04E4B3B2.png: | .. _RefImage_1000020100000280000001E00605C02F6BB9ADF2.png: | | | | | | | +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ | | | | .. image:: images/1000020100000280000001E0E999A63DBADD9688.png | .. image:: images/1000020100000280000001E0A87DDBC86B4AE8B5.png | | :width: 3.3681in | :width: 3.3681in | | :height: 2.5256in | :height: 2.5256in | | | | | | | | .. _RefImage_1000020100000280000001E0E999A63DBADD9688.png: | .. _RefImage_1000020100000280000001E0A87DDBC86B4AE8B5.png: | | | | | | | +----------------------------------------------------------------+----------------------------------------------------------------+ Incertitudes sur la solution ---------------------------- Aucune, la solution est analytique.