Solution de référence
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Méthode de calcul utilisée pour la solution de référence
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On étudie le comportement vibratoire d’une tuyauterie remplie de fluide. La tuyauterie est encastrée à une de ses extrémités et libre à l’autre extrémité. La section de la tuyauterie est constante et circulaire. On s’intéresse aux basses fréquences du comportement longitudinal de la tuyauterie.

On définit:


.. csv-table::

    "longueur du tube:", ":math:`L`"
    "module de Young du tuyau:", ":math:`E`"
    "diamètre extérieur du tuyau:", ":math:`D`"
    "épaisseur des parois:", ":math:`\mathrm{ep}`"
    "aire de la section solide:", ":math:`{S}_{s}`"
    "aire de la section fluide:", ":math:`{S}_{f}`"
    "célérité dans le tuyau (structure):", ":math:`{c}_{s}`"
    "célérité dans le fluide:", ":math:`{c}_{f}`"


On a choisi les caractéristiques du fluide et du tuyau de façon à avoir la relation suivante:

:math:`{c}_{f}={c}_{s}=\sqrt{\frac{E}{{\rho}_{s}}}=c=1000m/s`

Dans ce cas particulier d’égalité des célérités, on montre [:ref:`bib2 <bib2>`] que la première fréquence propre du problème couplé est telle que:

:math:`\mathrm{tg}(\frac{\omega L}{{c}_{s}})=\sqrt{\frac{{S}_{s}}{{S}_{f}}.\frac{E}{{\rho}_{f}{c}^{2}}}`

Elle vaut dans ce cas: :math:`f=157,94\mathrm{Hz}`


Résultats de référence
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Une seule modélisation est utilisée. Le calcul des modes est en formulation :math:`u,p,\varphi` . Il n'y a pas de solution de référence dans le cas où la section est variable (modélisation C).


Incertitude de la solution
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Solution analytique.


Références bibliographiques
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1.  WAECKEL F., DUVAL C.: Note de principe et d’utilisation des éléments de tuyauterie implémentés dans le *Code_Aster* . Note interne R&D HP-61/92.138


2.  DUVAL C. : Réponse dynamique sous excitation aléatoire dans le *Code_Aster* . Note interne R&D HP-61/92.148