Solution de référence
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Méthode de calcul
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On calcule les modes empiriques. On teste les modes par des valeurs ponctuelles de non-régression sur différents points et différentes ddl.




Grandeurs et résultats de référence
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On cherche à résoudre le système suivant:

.. math::
    :label: eq-2

    \left(-i{\omega}^{3}I(\mu )-{\omega}^{2}(\mu )M(\mu )+K(\mu )\right)u(\mu )=F(\mu )

Le coefficient :math:`\mu ` représente les paramètres de variation, :math:`I` la matrice d'impédance, :math:`M` la matrice de masse, :math:`K` la matrice de rigidité et :math:`F` le second membre (appliquant la force nodale). Les paramètres variables sont les suivants: :math:`\omega ` , :math:`{E}_{a}` , :math:`{\rho}_{a}` et :math:`{\rho}_{v}` .

On écrit le système sous la forme suivante:

.. math::
    :label: eq-3

    {f}_{1}(\omega ,{E}_{a}).{K}_{v}+{f}_{2}(\omega ,{\rho}_{a}).{K}_{e}+{K}_{f}+{f}_{3}(\omega ,{\rho}_{v}).{M}_{e}-{\omega}^{2}{M}_{f}-j{\omega}^{3}.I=F

On a séparé les différentes contribution: :math:`{K}_{v}` pour la rigidité venant de la partie viscoélastique (calculé par RIGI_MECA_HYST), :math:`{K}_{e}` pour la rigidité venant de la partie élastique, :math:`{K}_{f}` pour la rigidité venant de la partie fluide, :math:`{M}_{e}` pour la masse venant de la partie élastique, :math:`{M}_{f}` pour la masse venant de la partie fluide et :math:`I` la matrice d'impédance.

Et les fonctions:

.. math::
    :label: eq-4

    {f}_{1}(\omega ,{E}_{a})=2\times {E}_{a}(1.0+{\nu}_{v})\frac{\frac{{G}_{0}+{G}_{\infty}{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}{1+{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}}{{\rho}_{e}{c}^{2}}+2j{E}_{a}(1.0+{\nu}_{v})\frac{\frac{{G}_{0}+{G}_{\infty}{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}{1+{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}}{{\rho}_{e}{c}^{2}}\times \frac{\mathrm{\Im }\left(\frac{{G}_{0}+{G}_{\infty}{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}{1+{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}\right)}{\mathrm{\Re }\left(\frac{{G}_{0}+{G}_{\infty}{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}{1+{(\mathit{jc}\omega \tau )}^{\alpha}}\right)}


.. math::
    :label: eq-5

    {f}_{2}(\omega ,{\rho}_{a})=\frac{{\rho}_{a}{E}_{e}}{{\rho}_{e}{c}^{2}}


.. math::
    :label: eq-6

    {f}_{3}(\omega ,{\rho}_{v})=\frac{-{\omega}^{2}{\rho}_{v}{\rho}_{a}}{{\rho}_{e}}

Pour le calcul, on fait varier les quatre paramètres sur dix valeurs (on ne recopie pas ici la valeur de ces paramètres qui ont été tirés au hasard, voir le fichier de commandes)


Incertitudes sur la solution
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L'erreur sur la solution dépend du degré de réduction (nombre de modes empiriques).