Solution de référence
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On calcule les modes propres du système après avoir vérifié ceux de chaque sous-structure. On évalue ensuite la masse ajoutée sur les modes en air.


Décomposition en sous-structures
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**Première sous-structure: cylindre intermédiaire**

La première sous-structure est constituée du cylindre intermédiaire et de quatre ressorts de raideur :math:`{k}_{\mathrm{2 }}={10}^{7}{\mathrm{N.m}}^{-1}` . Ces ressorts sont encastrés à l’interface avec le cylindre externe qui constitue la deuxième sous-structure (interface de type CRAIG-BAMPTON).


.. image:: images/Object_6.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_6.svg:

Masse du cylindre 1: :math:`{m}_{1}=2.041{10}^{6}\mathrm{kg}`

Le cylindre étant rigide, son mouvement peut être modélisé par un système masse-ressort à un degré de liberté:


.. image:: images/Object_7.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_7.svg:

Achacune de ses extrémités, le cylindre est relié à deux ressorts en parallèle: la raideur équivalente de chacun est :math:`k’=2{k}_{2}`

La fréquence propre vautalors :

.. image:: images/Object_8.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_8.svg:

, soit:

.. image:: images/Object_9.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_9.svg:

**Deuxième sous-structure: cylindre extérieur**

La deuxième sous-structure est le cylindre externe relié d’une part à l’interface par les mêmes ressorts, d’autre part à un bâti fixe:


.. image:: images/Object_10.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_10.svg:

Masse du cylindre 2: :math:`{m}_{2}=3,674{10}^{6}\mathrm{kg}`

La raideur équivalente d’une attache de ce cylindre par le système de ressorts en série :math:`{k}_{1}` et :math:`{k}_{2}` valant :math:`9,9{10}^{6}{\mathrm{N.m}}^{-1}` (quatre attaches du même type relient en parallèle le cylindre à un encastrement), la fréquence propre est donnée par:


.. image:: images/Object_11.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_11.svg:

, soit:

.. image:: images/Object_12.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_12.svg:

**N.B.** : le troisième cylindre (cylindre intérieur) n’a pas été modélisé dans notre cas car il s’agint d’un cylindre fixe. Il constitue donc une paroi fixe du domaine fluide.

**Modes en air de la structure complète (cylindre intermédiaire et cylindre externe)**

C’est un système à deux degrés de liberté:


.. image:: images/Object_13.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_13.svg:

Les fréquences propres de ce système sont données par la formule exacte [:ref:`bib2 <bib2>`]:


.. image:: images/Object_14.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_14.svg:

,

soit

:math:`{f}_{1}=0.497\mathrm{Hz}` et :math:`{f}_{2}=5.263\mathrm{Hz}` .

Les deux modes propres admettent, pour valeur numérique:


.. image:: images/Object_16.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_16.svg:

.


Calcul de la matrice de masse ajoutée
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**Potentiels fluides**

Reprenant [:ref:`bib1 <bib1>`], on établit que:


.. image:: images/Object_17.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_17.svg:

La forme de la matrice de masse ajoutée, dans cette configuration, est:


.. image:: images/Object_18.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_18.svg:

Avec:


.. image:: images/Object_19.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_19.svg:

Le coefficient de couplage inertiel

.. image:: images/Object_20.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_20.svg:

est considéré comme négligeable devant les coefficients d’auto-masse ajoutée

.. image:: images/Object_21.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_21.svg:

et

.. image:: images/Object_22.svg
    :width: 238
    :height: 139


.. _RefImage_Object_22.svg:

. Les fréquences propres du système ne dépendent, en première approximation, que de ces deux dernièrs coefficients.


Résultats de référence
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Résultat analytique.


Références bibliographique
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*   ROUSSEAU G., LUU H.T. : Masse, amortissement et raideur ajoutés pour une structure vibrante placée dans un écoulement potentiel - Bibliographie et implantation dans le *Code_Aster*  - HP-61/95/064


*   BLEVINS R.D. : Formulas for Natural frequency and mode shape, Ed. Krieger